Урок 34. Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Сравнение помогает расположить числа по порядку и выбрать подходящее значение. Результат записывают с помощью специальных знаков.

Знаки сравнения — это >, < и =. Запись 9 > 6 читают «9 больше 6», запись 4 < 7 — «4 меньше 7», а 5 = 5 — «5 равно 5». Знаки превращают словесный вывод в короткую математическую запись.

Неравенство — запись, в которой два числа соединены знаком > или <. Например, 2 < 10 показывает, что первое число меньше второго. Неравенство используют, когда сравниваемые числа не равны.

Числовая прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением, на которой числам соответствуют точки. Ноль служит началом отсчёта, а расстояние между соседними целыми числами равно одной единице. Такая прямая позволяет сравнивать числа по положению их точек.

Как это устроено

На числовой прямой движение вправо означает увеличение числа: при каждом шаге к числу прибавляется единица. Поэтому точка, расположенная правее другой, соответствует большему числу, а точка левее — меньшему. Например, 8 находится правее 3, значит, 8 > 3.

У целых чисел сначала полезно определить их положение относительно нуля. Положительное число больше нуля, отрицательное меньше нуля, поэтому любое отрицательное число меньше любого положительного. Если оба числа отрицательные, правее окажется то, у которого меньше модуль: −2 > −6, поскольку −2 ближе к нулю.

Положительные десятичные дроби сравнивают слева направо. Сначала проверяют целые части: число с большей целой частью больше. Если целые части совпали, сравнивают десятые, затем сотые, тысячные и следующие разряды; недостающие цифры можно заменить нулями, потому что 0,5 и 0,50 имеют одно значение.

Обыкновенные дроби сравнивают после преобразования к удобному виду. При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем, а при разных знаменателях дроби приводят к общему знаменателю и сравнивают полученные числители. Иногда дроби приводят к общему числителю: тогда большей будет дробь с меньшим положительным знаменателем.

Готовую запись полезно проверить чтением. Нужно произнести числа слева направо вместе со словами «больше», «меньше» или «равно» и убедиться, что смысл совпадает с условием. Если числа поменяли местами, знак > заменяется на <, а знак < — на >.

Способы сравнения чисел

Сначала определите, к какому виду относятся числа, а затем выберите соответствующий приём. После сравнения проверьте знак чтением или расположением чисел на числовой прямой.

Разбор задач

Задача 1. Сравните 8 и 13. Эти числа положительные и целые, поэтому их можно сопоставить на числовой прямой или сравнить по расположению в натуральном ряду.

1. Число 8 находится левее числа 13.
2. Значит, 8 меньше 13.
3. Записываем меньший знак остриём к числу 8: 8 < 13.

Ответ: 8 < 13.

Задача 2. Сравните −4 и 2. Числа имеют разные знаки, поэтому не требуется сравнивать их модули. Достаточно определить, по какую сторону от нуля находится каждое число.

1. −4 расположено слева от нуля, а 2 — справа.
2. Любое отрицательное число меньше любого положительного.
3. Ставим знак «меньше»: −4 < 2.

Ответ: −4 < 2.

Задача 3. Сравните 0,48 и 0,5, а затем 3/8 и 5/12. В первом сравнении используются разряды десятичной дроби, во втором знаменатели различны, поэтому дроби нужно преобразовать.

1. Запишем 0,5 как 0,50. Целые части равны, десятые тоже равны, но 8 сотых меньше 0 сотых? Исправим запись: 0,48 и 0,50; в десятых 4 < 5, значит, 0,48 < 0,5.
2. Для дробей найдём общий знаменатель 24: 3/8 = 9/24, а 5/12 = 10/24.
3. Сравниваем числители: 9 < 10, поэтому 3/8 < 5/12.

Ответ: 0,48 < 0,5; 3/8 < 5/12.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что число с большим модулем всегда больше. Так бывает только при сравнении положительных чисел: среди отрицательных −8 меньше, чем −3. Проверьте положение точек относительно нуля.

Иногда десятичные дроби сравнивают по числу цифр после запятой. Это неверно: количество цифр не определяет значение, поэтому сравнивайте одинаковые разряды, дописывая нули справа.

Нельзя сравнивать дроби с разными знаменателями только по числителям. Сначала приведите их к общему знаменателю или используйте другой обоснованный способ.

Ещё одна ошибка — неверно читать знак или не менять его при перестановке чисел. Прочитайте запись словами и проверьте, что широкая часть знака обращена к большему числу.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь располагать числа на числовой прямой, различать положительные и отрицательные числа и читать координаты точек. Эти навыки объясняют, почему положение числа определяет результат сравнения.

Разрядный состав десятичных дробей помогает сравнивать их по цифрам, а знание равных дробей — приводить обыкновенные дроби к общему знаменателю. Без этих преобразований легко ошибиться.

Сравнение чисел нужно при решении неравенств, упорядочивании чисел и выборе границ числовых промежутков. Оно также помогает проверять, разумен ли полученный ответ.

Что запомнить

• На числовой прямой больше то число, которое расположено правее.
• Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное — меньше нуля.
• Любое отрицательное число меньше любого положительного.
• При сравнении десятичных дробей сначала сравнивают целые части, затем одинаковые разряды.
• Дроби с разными знаменателями сравнивают после приведения к общему знаменателю.
• Знак > читают «больше», знак < — «меньше», знак = — «равно».