Урок 33. Натуральный ряд

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которые используют при счёте предметов. Их запись начинается с единицы: 1, 2, 3, … В принятом здесь определении ноль не входит в множество натуральных чисел, поэтому счёт натуральными числами начинается не с 0.

Натуральный ряд — последовательность натуральных чисел, расположенных по возрастанию, начиная с единицы. Он записывается так: 1, 2, 3, 4, … Такое расположение помогает видеть порядок чисел и быстро сравнивать их.

Следующее натуральное число — число, которое получают из данного прибавлением единицы. Например, для 8 следующим будет 9, потому что 8 + 1 = 9. Это правило позволяет продолжать ряд и находить пропущенные числа.

Предыдущее натуральное число — число, которое на единицу меньше данного. Для 8 это 7, так как 8 − 1 = 7. У единицы предыдущего натурального числа нет: перед ней пришлось бы поставить 0, а ноль в этот натуральный ряд не входит.

Как это устроено

Когда считают предметы, каждому предмету по очереди называют число: одному предмету соответствует 1, двум — 2, трём — 3. Если добавить к группе ещё один предмет, число увеличивается на единицу. Поэтому после 1 идёт 2, после 2 — 3, и счёт образует последовательность 1, 2, 3, …

У любого натурального числа можно найти следующее: достаточно прибавить 1. Предыдущее число находится вычитанием 1, но это возможно для чисел, начиная с 2. Для единицы результатом было бы 0, а он не является натуральным числом в данном определении, поэтому перед единицей в ряду нет другого натурального числа.

Натуральный ряд бесконечен не потому, что в нём уже записаны все числа, а потому, что его всегда можно продолжить. Какое бы число мы ни назвали, например 1000 или миллион, к нему прибавляется 1. Полученное число снова натуральное, значит, самого большого натурального числа не существует.

Каждое следующее число на единицу больше предыдущего, поэтому числа в ряду возрастают слева направо. Чем правее расположено число, тем оно больше; чем левее — тем меньше. Если нужно найти промежуток для числа, надо посмотреть на его соседей: например, 57 находится между 56 и 58, потому что 56 — предыдущее, а 58 — следующее число.

Натуральные числа и их место в натуральном ряду

Сначала определите, о каком понятии говорится в задаче, а затем примените правило из второго столбца. Третий столбец помогает проверить себя на конкретном примере. Если нужно найти место числа, сравните его с предыдущим и следующим числами.

Разбор задач

Первые числа натурального ряда

Условие. Запишите первые восемь чисел натурального ряда. Нужно начать с того числа, с которого ряд начинается, и не пропускать ни одного следующего числа.

1. Первое число ряда — 1.
2. Каждый следующий член получаем прибавлением 1: после 1 идёт 2, после 2 — 3.
3. Продолжаем такой счёт, пока не запишем восемь чисел.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Проверка проста: каждое соседнее число справа на единицу больше числа слева.

Предыдущее и следующее число

Условие. Назовите предыдущее и следующее числа для 47. Сначала найдём число слева от 47, затем число справа от него в натуральном ряду.

1. Предыдущее число на единицу меньше: 47 − 1 = 46.
2. Следующее число на единицу больше: 47 + 1 = 48.
3. Проверяем порядок: 46, 47, 48, поэтому 47 действительно находится между найденными числами.

Ответ: предыдущее число — 46, следующее — 48. Разность каждой пары соседних чисел равна единице.

Пропуски в последовательности

Условие. Вставьте пропущенные числа: 198, __, 200, __, __. Ряд должен сохранять правило: каждое следующее число на единицу больше предыдущего.

1. Между 198 и 200 стоит число 199, потому что 198 + 1 = 199.
2. После 200 записываем 201.
3. Следом за 201 записываем 202.
4. Проверяем всю последовательность: 198, 199, 200, 201, 202.

Ответ: 198, 199, 200, 201, 202. Все соседние числа отличаются на 1, значит, порядок восстановлен верно.

Типичные ошибки

Иногда натуральный ряд начинают с нуля. Так происходит потому, что в некоторых источниках используют другое соглашение. В данном курсе нужно проверить определение и начинать ряд с 1.

Некоторые считают, что перед единицей стоит 0 и называют его предыдущим натуральным числом. Но в рассматриваемом натуральном ряду ноль не является натуральным числом. Проверка: если после вычитания 1 получилось 0, у единицы предыдущего натурального числа нет.

Предыдущее и следующее числа часто путают местами. Предыдущее меньше данного на 1, а следующее больше данного на 1. Проверяйте себя так: разность данного и предыдущего должна быть 1, а разность следующего и данного — тоже 1.

Ещё одна ошибка — попытка закончить ряд самым большим числом. У натуральных чисел нет последнего элемента, потому что к любому числу можно прибавить 1. Если назвали предполагаемый конец, сразу найдите число на единицу больше него.

Связь с другими темами

До изучения натурального ряда нужно уметь считать предметы и понимать порядок чисел при счёте. Именно счёт объясняет, почему числа располагаются последовательно и почему после каждого числа появляется следующее. Эти знания помогают правильно читать и записывать числовые последовательности.

Натуральный ряд нужен при сравнении чисел: положение числа в ряду показывает, какое из двух чисел больше. Он также пригодится при изучении разрядов, сложении, вычитании и других арифметических действиях. Правила соседних чисел помогают проверять записи и находить пропуски.

Что запомнить

• Натуральный ряд начинается с единицы.
• Натуральные числа располагаются по возрастанию.
• Следующее число на единицу больше данного.
• У каждого натурального числа есть следующее.
• У каждого натурального числа, кроме единицы, есть предыдущее.
• Натуральный ряд бесконечен.