Урок 32. Нумерация двузначных чисел

Определения и обозначения

Двузначное число — число, которое записывается двумя цифрами. В записи 47 цифра слева показывает десятки, а справа — единицы. Поэтому 47 означает не четыре и семь, а четыре десятка и семь единиц. Это правило помогает правильно прочитать число и понять, какое количество оно обозначает.

Десяток — единица счёта, равная десяти единицам. Если собрать десять отдельных предметов, их можно считать не по одному, а как одну группу — один десяток. Так удобнее вести счёт больших количеств и переходить от однозначных чисел к двузначным. Например, 20 предметов — это два десятка.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. В двузначном числе различают разряд десятков и разряд единиц: десятки записывают слева, единицы — справа. Одна и та же цифра может обозначать разное количество в зависимости от места. Разряды помогают не перепутать значение цифр при чтении и записи чисел.

Разрядный состав числа — представление числа как суммы десятков и единиц. Например, 47 = 40 + 7: число состоит из четырёх десятков и семи единиц. Такое разложение показывает, какой вклад в общее количество вносит каждая цифра. Оно пригодится при сравнении чисел и вычислениях.

Как это устроено

Счёт начинают с отдельных единиц, потому что каждый предмет можно посчитать по одному. Когда набирается девять единиц, следующая единица образует полный десяток. Десять единиц объединяют в одну новую счётную единицу, поэтому вместо десяти отдельных единиц говорят об одном десятке. Это и объясняет, как после однозначных чисел появляются двузначные.

Числа от 10 до 19 начинаются с одного полного десятка. После него могут быть ноль, одна, две и так далее до девяти единиц: например, 13 — это один десяток и три единицы. Десяток в этой последовательности не меняется, потому что до второго полного десятка ещё не хватает единиц. Меняется только количество единиц, записанное справа.

Когда к 19 прибавляют единицу, получается 20: десять единиц второго десятка объединяются, и число десятков увеличивается. То же происходит при переходе через 29, 39 и другие числа, оканчивающиеся на 9. После такого перехода цифра единиц снова становится нулём, а цифра десятков возрастает на один. Поэтому последовательность двузначных чисел устроена группами по десять чисел.

В записи 36 цифра 3 стоит слева, в разряде десятков, поэтому обозначает три десятка, или 30. Цифра 6 стоит справа, в разряде единиц, и обозначает шесть единиц. Вместе они дают число 36. Если поменять цифры местами, получится 63 — уже другое количество, потому что значения цифр зависят от их мест.

Запись числа, его разрядный состав и название описывают одно и то же количество разными способами. Число 36 читают «тридцать шесть», раскладывают как 30 + 6 и называют тремя десятками и шестью единицами. Слагаемое 30 показывает значение цифры десятков, а 6 — значение цифры единиц. По такому разложению можно проверить, что число прочитано и записано верно.

Разрядный состав двузначных чисел

В таблице цифры числа помогают определить отдельно десятки и единицы, а затем записать их как сумму. Ноль в столбце единиц означает, что число состоит только из полных десятков. Проверь, что слагаемое десятков заканчивается нулём, а слагаемое единиц совпадает с числом единиц.

Разбор задач

Задача 1. Назвать число, которое состоит из одного десятка и пяти единиц, и записать его разрядный состав. Начинаем с десятка: он задаёт цифру 1 на месте десятков. Пять отдельных единиц записываем справа, поэтому получаем число 15. Затем представляем десяток числом 10 и прибавляем к нему единицы.

1. Один десяток равен 10, а пять единиц — 5.
2. Записываем сначала число десятков, затем единиц: 15.
3. Складываем значения разрядов: 15 = 10 + 5.

Ответ: число 15; его разрядный состав — 10 + 5.

Задача 2. Разложить число 42 на десятки и единицы и объяснить значение каждой цифры. Сначала определяем места цифр: 4 стоит слева и обозначает десятки, 2 справа обозначает единицы. Четыре десятка — это 40, а две единицы — это 2. Чтобы получить число, складываем значения обоих разрядов.

1. Находим число десятков: цифра 4 означает четыре десятка, то есть 40.
2. Находим число единиц: цифра 2 означает две единицы.
3. Записываем сумму разрядных слагаемых: 42 = 40 + 2.

Ответ: 42 состоит из четырёх десятков и двух единиц; 42 = 40 + 2.

Задача 3. Записать число из семи десятков и нуля единиц, а затем сравнить его с числом из семи десятков и трёх единиц. В обоих случаях десятков поровну, поэтому разряд десятков будет одинаковым. Ноль единиц нужно сохранить в записи, чтобы показать место десятков. Во втором числе справа стоит 3, значит, оно больше на три единицы.

1. Семь десятков и ноль единиц записываем как 70.
2. Семь десятков и три единицы записываем как 73.
3. Десятки одинаковы, поэтому сравниваем единицы: 0 < 3, следовательно, 70 < 73.

Ответ: числа 70 и 73; 70 меньше 73.

Типичные ошибки

Путать цифру и число. Цифра — знак для записи, а число обозначает количество; например, число 14 записано цифрами 1 и 4. Путаница возникает из-за того, что в разговоре эти слова иногда используют неточно. Проверь себя: если речь о знаке в записи, называй его цифрой, а если о количестве — числом.

Считать первую цифру числом единиц. В двузначной записи цифра слева стоит в разряде десятков, поэтому в числе 36 она означает 30, а не 3 единицы. Ошибку допускают, когда читают цифры отдельно и не учитывают их места. Для проверки разложи число на десятки и единицы: десятки должны дать число, кратное десяти.

Записывать десятки и единицы в обратном порядке. Если поменять местами 4 десятка и 2 единицы, получится 24 вместо 42. Такое случается, когда запоминают количество цифр, но забывают порядок разрядов. Перед записью проверь: сначала укажи десятки слева, потом единицы справа, и прочитай получившееся число.

Пропускать ноль в разряде единиц. Семь десятков записывают как 70, а не как 7: число 7 означает семь единиц. Ноль справа показывает отсутствие отдельных единиц и удерживает цифру 7 в разряде десятков. Проверь запись разложением: у 70 должно быть 70 десятков? Нет, семь десятков — это 70, а 7 — лишь семь единиц.

Связь с другими темами

Перед изучением двузначных чисел нужно уметь считать предметы по одному и знать числа первого десятка. Именно из десяти единиц образуется новый счётный разряд — десяток. Если уверенно считать до десяти, легче понять, почему запись числа меняется после девяти единиц.

Нумерация двузначных чисел продолжает знакомство с десятичной системой счисления, где десять единиц одного разряда образуют одну единицу следующего разряда. Этот принцип понадобится при переходе к трёхзначным числам. В них появится новый разряд — сотни, устроенный по тому же правилу.

Разрядный состав помогает сравнивать числа и выполнять устные вычисления. Он также нужен, чтобы понимать запись результатов сложения и вычитания: цифры в ответе занимают места единиц, десятков и других разрядов. Поэтому важно учитывать не только сами цифры, но и их положение.

Что запомнить

• Двузначное число записывают двумя цифрами.
• Первая цифра двузначного числа показывает число десятков.
• Вторая цифра показывает число единиц.
• Десять единиц составляют один десяток.
• Двузначное число можно представить суммой десятков и единиц.
• Ноль в разряде единиц показывает, что отдельных единиц нет.