"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Сложение и вычитание чисел позволяют находить общий результат, даже если числа положительные и отрицательные. Чтобы вычислять без ошибок, нужно понимать, что означают сумма, разность и модуль, а также как знак числа влияет на действие. При сложении одинаковых знаков модули складывают, а разных — вычитают. Вычитание заменяют сложением противоположного числа, поэтому все действия можно свести к сложению.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором объединяют два числа и получают новое число, называемое суммой. Числа, которые складывают, называются слагаемыми: в записи a + b = c числа a и b — слагаемые, а c — сумма. Это действие помогает описывать совместное изменение величин, в том числе движение в разных направлениях. Знак каждого слагаемого показывает, в какую сторону оно влияет на результат.
Вычитание — действие, обратное сложению: из одного числа убирают другое и находят разность. В записи a − b = c число a называется уменьшаемым, b — вычитаемым, а c — разностью. Проверить вычитание можно сложением: разность и вычитаемое в сумме должны дать уменьшаемое. Такое понимание помогает не путать числа, участвующие в действии.
Противоположными называются числа, сумма которых равна нулю, например 6 и −6. На числовой прямой они находятся по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии. Поэтому противоположные числа взаимно компенсируют перемещения: одно направляет в одну сторону, другое — на столько же в обратную. Число, противоположное a, записывают как −a.
Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на числовой прямой; он не бывает отрицательным. Например, |−7| = 7 и |7| = 7, потому что оба числа удалены от нуля на семь единиц. При сложении чисел с разными знаками модули показывают длины перемещений в противоположных направлениях. Сравнение этих расстояний позволяет найти, какое направление и знак останутся у суммы.
Сложение удобно представить как перемещение по числовой прямой. Первое слагаемое задаёт точку, с которой начинают движение, а второе — сколько единиц и в какую сторону нужно пройти: положительное число ведёт вправо, отрицательное — влево. Например, чтобы прибавить −3, нужно от исходной точки пройти три единицы влево. Конечная точка и будет суммой, поэтому модель объясняет и величину результата, и его знак.
Если знаки одинаковые, слагаемые направляют движение в одну сторону. Их перемещения не компенсируют друг друга, а складываются по длине, поэтому складывают модули. Направление при этом остаётся прежним: два положительных слагаемых дают положительную сумму, а два отрицательных — отрицательную. Например, −4 и −2 вместе дают шесть единиц движения влево.
При разных знаках одно слагаемое задаёт движение вправо, другое — влево. Сначала более короткое перемещение компенсирует часть более длинного, поэтому из большего модуля вычитают меньший. Оставшееся направление совпадает с направлением числа, у которого модуль больше, — его знак и ставят у суммы. Если модули равны, перемещения полностью компенсируются и сумма равна нулю.
Вычитание можно заменить сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Это работает потому, что число, противоположное вычитаемому, отменяет его влияние при проверке сложением. Например, чтобы вычесть −5, прибавляют противоположное ему число 5: a − (−5) = a + 5. Замена особенно удобна в длинных выражениях: после неё все действия можно выполнять по общим правилам сложения.
Сумму не меняют, если переставить слагаемые или иначе объединить их в группы. Переместительное свойство записывают так: a + b = b + a, а сочетательное — (a + b) + c = a + (b + c). Благодаря этому можно сначала сложить противоположные числа и получить ноль или собрать отдельно положительные и отрицательные слагаемые. Выбирать группировку стоит так, чтобы вычисления стали короче и понятнее.
В таблице собраны правила для основных случаев. Сначала определи, какие знаки у чисел, а при вычитании сначала замени действие сложением противоположного числа. Затем вычисли модули и поставь подходящий знак.
| Ситуация | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Сложение чисел с одинаковыми знаками | Сложить модули и сохранить общий знак. | (−4) + (−3) = −7 |
| Сложение чисел с разными знаками | Из большего модуля вычесть меньший; поставить знак числа с большим модулем. | 9 + (−5) = 4 |
| Сложение противоположных чисел | Сумма равна нулю. | 8 + (−8) = 0 |
| Вычитание числа | Заменить вычитание сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). | 7 − 3 = 7 + (−3) = 4 |
| Вычитание отрицательного числа | Заменить вычитание сложением противоположного, положительного числа. | 7 − (−3) = 7 + 3 = 10 |
Вычислите: (−7) + (−5). Оба числа отрицательные, значит, они задают движение в одну сторону — влево. Их длины нужно сложить, а знак результата оставить отрицательным. Решение:
Вычислите: 12 + (−17). Здесь знаки разные, поэтому движения направлены в разные стороны и частично компенсируются. Модуль отрицательного слагаемого больше, следовательно, результат будет отрицательным. Решение:
Вычислите: −8 − (−13) + 4 − 11. В выражении есть вычитание отрицательного числа, поэтому сначала заменим вычитание сложением противоположного. Затем переставим и сгруппируем слагаемые так, чтобы вычислять было проще. Решение:
При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули. Так поступают, если механически применяют правило для одинаковых знаков, не проверив направления перемещений. Например, 12 + (−17) — это не 29: движения частично компенсируются. Проверь себя: разные знаки означают, что модули нужно вычитать.
При сложении чисел с одинаковыми знаками можно верно сложить модули, но ошибиться со знаком. Обычно знак выбирают по тому, какое число кажется больше, хотя решает не величина модуля, а общий знак слагаемых. Например, у суммы (−7) + (−5) знак отрицательный, несмотря на то что модули положительны. Перед записью ответа проверь, в какую сторону направлены оба слагаемых.
Вычитая отрицательное число, некоторые сохраняют знак вычитания и продолжают считать, будто вычитают положительное. Причина — внимание к знаку действия, а не к знаку самого числа в скобках. Например, 7 − (−3) нужно преобразовать в 7 + 3. Для проверки каждый раз записывай противоположное вычитаемому число и только потом вычисляй.
Для противоположных чисел иногда получают 1 или оставляют знак одного из слагаемых. Это происходит, когда забывают, что одинаковые модули направлены в противоположные стороны и полностью компенсируются. Например, 9 + (−9) = 0, а не 1 и не 9. Проверь, равны ли модули: если да, сумма противоположных чисел равна нулю.
Для вычислений нужно уметь сравнивать числа, находить модуль и отмечать числа на координатной прямой. Сравнение модулей помогает определить знак суммы, а прямая объясняет, почему перемещения компенсируются или складываются. Если эти действия пока вызывают затруднение, повтори их отдельно и затем вернись к правилам.
Сложение и вычитание чисел используются при действиях с рациональными числами, раскрытии скобок и решении уравнений. Замена вычитания сложением помогает преобразовывать выражения, а свойства суммы — упрощать вычисления и группировать слагаемые. Понимание знаков пригодится и при проверке полученного ответа.
Почему при сложении чисел с разными знаками нужно вычитать модули?
На числовой прямой числа с разными знаками направляют движение в противоположные стороны. Часть перемещения в одну сторону компенсирует часть перемещения в другую, поэтому остаётся разность расстояний от нуля — модулей чисел.
Как определить знак суммы двух чисел с разными знаками?
Сравни модули слагаемых. Сумма будет иметь знак того числа, модуль которого больше, потому что его вклад в перемещение от нуля сильнее.
Почему вычитание отрицательного числа превращается в сложение?
Вычесть число — значит прибавить число, противоположное ему. Противоположное отрицательному числу положительно, поэтому, например, вычитание −5 заменяется сложением 5.
Чему равна сумма противоположных чисел?
Сумма противоположных чисел равна нулю. Они одинаково удалены от нуля, но расположены по разные стороны числовой прямой, поэтому взаимно компенсируются.
Можно ли менять местами слагаемые при вычислениях?
Да, при сложении слагаемые можно переставлять и группировать — сумма от этого не меняется. Это удобно, когда так легче получить ноль или сложить числа с одинаковыми знаками.
1.20. Сложение и вычитание чисел
