"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Вычитание числа из суммы помогает упростить вычисления, не меняя их результата. Вместо того чтобы сначала складывать два числа, а потом вычитать третье, можно вычесть вычитаемое из одного слагаемого и прибавить другое. Например, в выражении 125 + 68 − 25 удобно сначала вычислить 125 − 25. Если вычитаемое больше каждого слагаемого, его можно разделить на части и вычесть их по очереди.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения. В выражении (a + b) − c сумма a + b является уменьшаемым, то есть тем числом, из которого вычитают. Слово «сумма» помогает увидеть, что до вычитания в выражении соединены два слагаемых.
Уменьшаемое — число, из которого вычитают. В выражении (a + b) − c уменьшаемое — вся сумма a + b, а не одно из её слагаемых. Это различие нужно, чтобы правильно определить, какое количество уменьшается.
Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого. В записи (a + b) − c вычитаемое — c. Зная название этого числа, легче понять, что именно нужно учесть при преобразовании выражения.
Вычитание числа из суммы — преобразование выражения так, чтобы вычитаемое отнять от одного слагаемого, а другое прибавить. Например, (a + b) − c можно записать как (a − c) + b, если a не меньше c. Такое преобразование сохраняет результат и помогает выбрать более удобный порядок вычислений.
В выражении (a + b) − c сначала складывают a и b, а потом из полученной суммы вычитают c. Это можно сделать прямо по порядку, но иногда промежуточная сумма неудобна для вычисления. Тогда полезно изменить порядок действий, сохранив значение всего выражения.
Если a ≥ c, можно сначала вычесть c из первого слагаемого, а затем прибавить второе: (a + b) − c = (a − c) + b. Равенство работает потому, что к сумме a + b вычитают ровно c, а число b остаётся на месте. Вычитаемое нельзя терять или учитывать повторно.
Если b ≥ c, можно вычесть число из второго слагаемого: (a + b) − c = a + (b − c). Здесь a остаётся без изменения, а вычитание выполняется внутри b. Выбирай тот вариант, где легче получить разность, например круглое число или небольшой остаток.
Например, 42 + 18 − 8 можно вычислить как 42 + (18 − 8) = 42 + 10 = 52. В исходной записи к 42 прибавили 18 и убрали 8; после преобразования к 42 прибавляют уже 10. Значение не изменилось, потому что часть суммы уменьшена ровно на величину вычитаемого.
Иногда c больше каждого отдельного слагаемого, поэтому нельзя получить натуральную разность, вычитая c целиком из a или b. Тогда c раскладывают на части и вычитают эти части из разных слагаемых. Например, при 36 + 48 − 29 число 29 можно представить как 20 + 9: 20 вычесть из 48, а 9 — из 36; сумма частей при этом остаётся равной 29.
| Способ | Преобразование | Когда удобно применять |
|---|---|---|
| Вычесть из первого слагаемого | (a + b) − c = (a − c) + b | Если a ≥ c и разность a − c удобно найти |
| Вычесть из второго слагаемого | (a + b) − c = a + (b − c) | Если b ≥ c и разность b − c удобно найти |
| Разложить вычитаемое на части и вычесть их из разных слагаемых | Если c = c₁ + c₂, то (a + b) − c = (a − c₁) + (b − c₂) | Если c больше каждого слагаемого, но вычитаемое удобно разделить |
| Вычислить сумму и затем вычесть число | (a + b) − c = сумма a и b, затем минус c | Если сумму легко найти или другие способы не упрощают вычисления |
Сначала посмотри, из какого слагаемого можно вычесть число без затруднений. Если ни одно слагаемое не подходит, попробуй разложить вычитаемое на части. Когда преобразование не упрощает счёт, просто найди сумму, а затем выполни вычитание.
Задача 1. Вычисли 47 + 30 − 7. Здесь 7 можно вычесть из 30, не затрагивая 47. Такой выбор удобен, потому что после вычитания получится круглое число.
Ответ: 70. Мы уменьшили слагаемое 30 на 7, поэтому прибавляем к 47 уже 23; исходное количество уменьшилось ровно на 7.
Задача 2. Вычисли 125 + 68 − 25, выбрав удобный способ. Число 25 меньше первого слагаемого 125. Если вычесть его именно оттуда, получится 100, а это число легко сложить с 68.
Ответ: 168. Мы не вычитали 25 из обоих слагаемых: оно уменьшило только 125, а 68 осталось без изменения.
Задача 3. В двух коробках 36 и 48 карандашей. Из общего количества взяли 29 карандашей. Сколько осталось? Сначала запишем общее количество как сумму, а взятые карандаши — как вычитаемое. Число 29 больше и 36, и 48, поэтому его удобно разделить на части 9 и 20.
Ответ: 55 карандашей. Проверим разложение: 9 + 20 = 29, значит, учли всех взятых карандашей. Из каждой коробки вычли допустимую часть, а затем сложили остатки.
Вычитать число из обоих слагаемых целиком. Так делают, когда пытаются применить правило отдельно к каждому числу, но вычитаемое учитывается два раза. Проверь запись раскрытием скобок: (a − c) + (b − c) = a + b − 2c, а нужно получить a + b − c.
Менять местами слагаемые и вычитаемое без сохранения равенства. Например, перестановка чисел в разности меняет её значение, потому что вычитание не обладает свойством переместительности. Сверь преобразованную запись с исходной и проверь, что знак и место вычитаемого не изменились случайно.
Получать отрицательную разность при вычислениях с натуральными числами. Это происходит, если вычитаемое больше выбранного слагаемого, хотя правило требует, чтобы слагаемого хватало для вычитания. Выбери другое слагаемое, из которого вычитаемое меньше или равно, либо раздели вычитаемое на подходящие части.
Неверно раскладывать вычитаемое на части. Иногда при разложении теряют единицы или случайно изменяют сумму частей. До вычислений сложи части обратно: их сумма должна точно совпасть с исходным вычитаемым, например 9 + 20 = 29.
Для этой темы нужно знать смысл сложения и вычитания, а также названия компонентов действий: слагаемых, суммы, уменьшаемого и вычитаемого. Полезно помнить и порядок действий в выражениях без скобок: сложение и вычитание выполняют по порядку слева направо, если скобки не задают другой порядок. Правило помогает устно считать числовые выражения и упрощать вычисления, подбирая удобную группировку.
В задачах на изменение общего количества вычитание из суммы помогает найти остаток, когда предметы взяли из общего запаса, собранного в нескольких местах. Сначала складывают отдельные количества, а затем вычитают убранную часть; иногда удобнее сразу распределить вычитание между слагаемыми.
Почему число можно вычесть только из одного слагаемого?
Потому что вычитаемое нужно учесть один раз: (a + b) − c = (a − c) + b. Если вычесть c и из a, и из b, получится a + b − 2c, то есть число вычтено дважды.
Из какого слагаемого удобнее вычитать?
Выбирай слагаемое, которое не меньше вычитаемого, чтобы разность оставалась натуральным числом. Особенно удобно, если после вычитания получается круглое число, например 125 − 25 = 100.
Что делать, если вычитаемое больше каждого слагаемого?
Разложи вычитаемое на части и вычти их из разных слагаемых. Проверь, что сумма частей равна исходному вычитаемому, а из каждого слагаемого вычитается не больше, чем в нём есть.
Можно ли сначала найти сумму, а потом выполнить вычитание?
Да, это обычный способ: сначала вычислить сумму, затем вычесть число. Правило преобразования нужно для другого — оно помогает считать удобнее, когда промежуточную сумму находить невыгодно.
Как проверить, что преобразование выполнено верно?
Можно вычислить исходное выражение и преобразованное, а затем сравнить результаты. Также проверь, что вычитаемое учтено ровно один раз, а при разложении его частей их сумма равна исходному числу.
1.21. Вычитание числа из суммы
