"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Сложение и вычитание чисел помогают находить результат действий с положительными и отрицательными числами. Их удобно представлять как перемещения по числовой прямой: вправо — в положительную сторону, влево — в отрицательную. Для сложения чисел с одинаковыми знаками складывают модули, а с разными — вычитают меньший модуль из большего. Вычитание заменяют сложением противоположного числа, поэтому эти правила работают и для целых, и для дробных чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма чисел — результат сложения, который записывают, например, так: a + b. Числа a и b называют слагаемыми, а знак «+» показывает, что их соединяют действием сложения. Это понятие нужно, чтобы различать сами числа и результат действия над ними. Например, в записи 4 + (−7) оба числа — слагаемые, а −3 — их сумма.
Разность чисел — результат вычитания, который записывают как a − b. Первое число a называют уменьшаемым: от него отнимают часть или величину. Второе число b называют вычитаемым — именно его вычитают из уменьшаемого. Эти названия помогают правильно читать запись и понимать, какое число меняется при действии.
Противоположные числа — числа, сумма которых равна нулю; например, 5 и −5. У них одинаковые модули, но разные знаки. На числовой прямой точки, соответствующие противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от нуля, по разные стороны от него. Пара таких чисел позволяет описывать равные перемещения в противоположных направлениях.
Модуль числа — расстояние от точки, соответствующей этому числу, до нуля на числовой прямой. Его обозначают вертикальными чертами: например, |−4| = 4 и |4| = 4. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен. Он нужен, чтобы отделить величину числа от его направления, то есть от знака.
Сложение удобно представлять как движение по числовой прямой. Чтобы прибавить положительное число, от исходной точки перемещаются вправо, а чтобы прибавить отрицательное — влево. Направление задаёт знак слагаемого, а длину перемещения — его модуль. Поэтому после нескольких шагов сумма соответствует точке, в которой оказалось движение.
Если у слагаемых одинаковые знаки, перемещения направлены в одну сторону. Их длины складываются, потому что одно движение продолжает другое, а направление не меняется. Значит, складывают модули и сохраняют общий знак: например, при двух отрицательных слагаемых результат тоже отрицательный. Так, −3 + (−2) = −5: движение на 3 единицы влево продолжается ещё на 2.
При разных знаках движения направлены навстречу друг другу, поэтому часть пути взаимно компенсируется. Чтобы найти оставшееся перемещение, из большего модуля вычитают меньший. Результат направлен туда, куда было более длинное движение, поэтому сумма получает знак слагаемого с большим модулем. Если длины равны, движения полностью компенсируют друг друга и сумма равна нулю.
Вычитание можно заменить сложением: из одного числа вычесть другое — значит прибавить число, противоположное вычитаемому. Это следует из движения по прямой: отменить шаг вправо можно шагом влево такой же длины, и наоборот. Поэтому a − b = a + (−b), а при вычитании отрицательного числа получается сложение положительного. Такая замена позволяет использовать одни и те же правила для сложения и вычитания.
Для целых и дробных чисел порядок действий одинаков: сначала определяют знаки, затем работают с модулями и выбирают знак результата. Если знаки совпадают, модули складывают; если различаются, больший модуль уменьшают на меньший. С дробями при этом выполняют обычные действия с их величинами: например, приводят к общему знаменателю, если это требуется. При нескольких действиях удобно сначала заменить вычитание сложением противоположного числа и затем вычислять по порядку, сохраняя знаки.
| Случай | Действие с модулями | Знак результата |
|---|---|---|
| Слагаемые одного знака | Сложить модули | Общий знак слагаемых |
| Слагаемые разных знаков | Из большего модуля вычесть меньший | Знак слагаемого с большим модулем |
| Модули слагаемых равны | Вычесть равные модули; результат — ноль | Знака нет |
| Вычитание числа | Заменить вычитание сложением противоположного числа | Определить по правилу сложения |
Сначала определи, складываешь ты числа или выполняешь вычитание; вычитание при необходимости замени сложением противоположного числа. Затем сравни знаки и модули, а по строке таблицы выбери действие и знак. Если после замены получилось сложение чисел с равными модулями и разными знаками, ответ сразу равен нулю.
Задача. Вычислите −7 + (−5). Оба слагаемых отрицательные, значит, на числовой прямой оба перемещения направлены влево. Они складываются по длине и не могут взаимно компенсировать друг друга. Поэтому складываем модули и оставляем общий знак.
Задача. Вычислите 9 + (−14). Здесь знаки разные, значит, движения направлены в противоположные стороны и частично сократятся. Сначала сравним расстояния от нуля: модуль отрицательного слагаемого больше. Следовательно, после компенсации останется движение в отрицательную сторону.
Задача. Вычислите −2,4 − (−3,7) + 1,2. В выражении есть вычитание отрицательного числа, поэтому сначала заменим его сложением противоположного. Затем выполним сложение по порядку, каждый раз учитывая знаки и сравнивая модули. Такой способ помогает не перепутать вычитание и сложение.
При сложении чисел с разными знаками иногда складывают их модули, как будто оба перемещения направлены одинаково. Ошибка возникает, если смотреть только на знак «+» между слагаемыми и не учитывать знаки самих чисел. Проверь себя: при разных знаках сравни модули и найди разность, а не сумму. Например, 8 + (−3) равно 5, а не 11.
Знак результата иногда выбирают по первому слагаемому. Но при разных знаках важна не очередность чисел, а то, какое из них дальше от нуля. Сначала сравни модули, затем возьми знак слагаемого с большим модулем. Для проверки можно поменять слагаемые местами: сумма не изменится, значит, её знак тоже не должен зависеть от порядка записи.
При вычитании отрицательного числа можно по ошибке оставить вычитание и получить неверный знак. Обычно так происходит, когда минус перед скобками принимают за знак, который не меняется. Перед вычислением замени вычитание сложением противоположного числа: например, 6 − (−2) = 6 + 2. Затем проверь, что знаки слагаемых в новой записи действительно изменились.
В выражении из нескольких действий легко потерять знак промежуточного результата и дальше считать с ним как с положительным числом. Это случается, если записывать только числовую величину ответа после каждого шага. Записывай промежуточный результат целиком, со знаком, например: −2,4 + 3,7 = 1,3. Для самопроверки заново определи знак каждого следующего действия по записи.
Для работы с этой темой нужны числовая прямая, представления о положительных и отрицательных числах, сравнение чисел и нахождение модуля. Эти знания позволяют определить направление перемещения, сравнить его длины и выбрать знак результата. Если одно из них вызывает затруднение, полезно сначала повторить соответствующее понятие.
Правила сложения и вычитания пригодятся при изучении рациональных чисел, раскрытии скобок и упрощении выражений. Умение заменять вычитание сложением противоположного числа помогает преобразовывать выражения к удобному виду. Те же приёмы применяют и с дробными числами, если аккуратно выполнять действия с их модулями.
Сложение и вычитание связаны с координатами точек на числовой прямой. Координата показывает положение точки относительно нуля, а сумма или разность описывает изменение положения. Поэтому вычисление можно проверить, представив его как перемещение от исходной точки в нужном направлении.
Почему при сложении чисел с разными знаками нужно вычитать модули?
На числовой прямой движения в противоположных направлениях частично компенсируют друг друга. Поэтому из более длинного перемещения вычитают более короткое, а оставшаяся длина равна модулю суммы.
Как определить знак суммы чисел с разными знаками?
Сравни модули слагаемых. Сумма получает знак того числа, у которого модуль больше, потому что его перемещение по числовой прямой длиннее.
Что делать, если модули слагаемых равны?
Вычти меньший модуль из большего: при равных модулях получится ноль. Например, 6 + (−6) = 0.
Почему вычитание отрицательного числа превращается в сложение?
Вычесть число — значит прибавить противоположное ему. Противоположное отрицательному числу положительно, поэтому, например, 5 − (−3) = 5 + 3.
Можно ли выполнять сложение и вычитание дробных чисел по тем же правилам?
Да, для дробных чисел действуют те же правила знаков и модулей. Сначала выполни действия с модулями, соблюдая правила для дробей, затем поставь нужный знак.
1.22. Сложение и вычитание чисел
