1.23. Плоские и объёмные фигуры

Определения и обозначения

Плоская фигура — фигура, все точки которой лежат в одной плоскости. Треугольник, круг и прямоугольник можно начертить на листе: для описания их формы достаточно длины и ширины. Это определение помогает отличать фигуры, у которых нет третьего измерения.

Объёмная фигура занимает часть пространства и имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Куб, шар и цилиндр — примеры таких фигур, даже если они изображены на плоском листе. Понятие нужно, чтобы говорить о форме тел и их объёме.

Многоугольник — плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Отрезки этой ломаной называют сторонами многоугольника, а точки их соединения — его вершинами. По числу сторон можно различать виды многоугольников и описывать их форму.

Многогранник — объёмная фигура, поверхность которой состоит из многоугольников. У куба эти многоугольники — грани, отрезки встречи граней — рёбра, а точки, где сходятся рёбра, — вершины. Названия элементов помогают точно описывать устройство тела и сравнивать его с другими многогранниками.

Как это устроено

Плоские и объёмные фигуры различают по тому, где они расположены и сколько измерений нужно, чтобы задать их размеры. У плоской фигуры достаточно двух направлений: например, длины и ширины прямоугольника. Объёмную фигуру нельзя целиком вместить в одну плоскость: для куба нужно учитывать ещё высоту. Поэтому рисунок тела на бумаге передаёт объём, но сам остаётся плоским изображением.

Многоугольник получается, если отрезки соединить концами один за другим так, чтобы последний отрезок вернулся к начальной точке. Точки соединения становятся вершинами, а отрезки между ними — сторонами. Замкнутая граница нужна, потому что только тогда она полностью отделяет внутреннюю часть фигуры от внешней. Если хотя бы один конец остался свободным, получается незамкнутая ломаная, а не многоугольник.

У многогранника многоугольники соединены в поверхность объёмного тела. В кубе каждая пара соседних граней встречается по отрезку — это ребро; рёбра, в свою очередь, сходятся в вершинах. Грани не просто лежат рядом: вместе они образуют закрытую поверхность, которая ограничивает часть пространства. Поэтому куб рассматривают как объёмное тело, а не как набор отдельных квадратов.

Плоские фигуры могут быть частью поверхности объёмных тел. Например, каждая грань куба имеет форму квадрата, а у цилиндра есть два круглых основания; его боковую поверхность можно развернуть в прямоугольник. Такое сопоставление помогает перейти от плоских фигур к устройству тел. При этом квадрат и куб не одно и то же: квадрат плоский, а куб объёмный.

Фигуры сравнивают по подходящим для них элементам. У многоугольника можно посчитать стороны и вершины, а у многогранника — грани, рёбра и вершины. Сравнение помогает замечать сходства и различия, например находить общее между гранями двух тел. Но элементы плоской фигуры нельзя смешивать с элементами объёмной: сторона многоугольника и ребро многогранника связаны, но относятся к разным фигурам.

Сравнение плоских и объёмных фигур

Сначала определи, в плоскости расположена фигура или занимает часть пространства, а затем сравни её элементы. Не у каждой фигуры выделяются все элементы из таблицы: например, у шара нет граней и рёбер. Таблица показывает также, что плоская фигура может входить в поверхность объёмного тела, не становясь самим телом.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Распределите треугольник, круг, куб, шар и цилиндр на плоские и объёмные фигуры. Объясните выбор. Смотрите не на способ изображения, а на саму фигуру и число измерений, необходимых для её описания. Это позволит не принять рисунок объёмного тела за само тело.

1. Треугольник и круг расположены в одной плоскости, поэтому это плоские фигуры. Для задания их формы достаточно двух измерений.
2. Куб, шар и цилиндр занимают часть пространства. У каждого можно выделить длину, ширину и высоту, поэтому это объёмные фигуры.
3. Проверьте признак: в первой группе нет третьего измерения, а во второй оно необходимо. Именно по этому признаку распределение получается однозначным.

Ответ: плоские фигуры — треугольник и круг; объёмные — куб, шар и цилиндр.

Задача 2

Условие. Назовите грани, рёбра и вершины изображённого куба и укажите форму его грани. Изображение может помочь увидеть элементы, но считайте их у самого куба, а не у линий рисунка. Вспомните, что грани куба — одинаковые квадраты.

1. У куба шесть квадратных граней: по одной сверху и снизу, а также четыре боковые. Каждая грань — плоский многоугольник на поверхности тела.
2. Соседние грани встречаются по отрезкам. Таких рёбер у куба двенадцать.
3. Рёбра сходятся в угловых точках — вершинах. У куба восемь вершин; подсчёт всех трёх видов элементов описывает его устройство.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; форма каждой грани — квадрат.

Задача 3

Условие. У макета есть две круглые границы и боковая поверхность, которую можно развернуть в прямоугольник. Определите объёмную фигуру и назовите плоские фигуры, связанные с её поверхностью. Используйте сразу оба признака: форму оснований и устройство боковой поверхности. Каждый из них помогает проверить предположение.

1. Два одинаковых круга, ограничивающих тело сверху и снизу, — его основания. Они указывают на цилиндр.
2. Проверьте боковую поверхность: при разворачивании она становится прямоугольником. Это согласуется с цилиндром и подтверждает выбор.
3. Назовите плоские фигуры, связанные с поверхностью: два круга-основания и прямоугольник, получаемый при развёртке боковой поверхности. Сам цилиндр при этом остаётся объёмным.

Ответ: это цилиндр; с его поверхностью связаны два круга и прямоугольник, в который разворачивается боковая поверхность.

Типичные ошибки

Изображение куба на листе иногда называют плоской фигурой, потому что рисунок действительно лежит на поверхности бумаги. Но он показывает объёмное тело с длиной, шириной и высотой. Чтобы проверить себя, спросите, что именно классифицируется: чертёж или изображённый объект. Чертёж плоский, а куб объёмный.

Круг и окружность часто считают одним и тем же из-за их общей границы. Окружность — только замкнутая линия, а круг включает ещё и точки внутри неё. Проверка проста: если речь идёт только о линии на одинаковом расстоянии от центра, это окружность; если о всей области внутри неё вместе с границей — круг. Не подменяйте название области названием её границы.

Грань иногда путают с ребром, потому что они соприкасаются. Однако грань — многоугольник, то есть часть поверхности, а ребро — отрезок, по которому встречаются две грани. Проверьте себя: можно ли назвать выделенный элемент целой плоской областью или это только линия между областями? В первом случае перед вами грань, во втором — ребро.

Любой набор отрезков не становится многоугольником: его граница должна быть замкнутой ломаной. Ошибка возникает, когда обращают внимание на соединённые стороны, но не проверяют, вернулась ли ломаная в начальную точку. Проследите границу по порядку и убедитесь, что свободных концов нет. Если ломаная не замкнулась, многоугольника не получилось.

Связь с другими темами

Для изучения фигур полезно уметь различать точку, отрезок, прямую и ломаную, а также распознавать простые геометрические фигуры. Эти знания помогают понять, из каких линий составлена граница многоугольника и как выделяются элементы многогранника. Позже плоские фигуры понадобятся при изучении периметра и площади, а объёмные тела — при изучении объёма и поверхности. Так знакомые определения становятся основой для новых способов измерения.

Что запомнить

• Плоская фигура расположена в одной плоскости.
• Объёмная фигура занимает часть пространства.
• У плоской фигуры два измерения, у объёмной — три.
• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Грань многогранника — многоугольник.
• Рёбра многогранника сходятся в вершинах.
• Плоское изображение объёмного тела не превращает само тело в плоскую фигуру.