1.24. Плоскость

Определения и обозначения

Плоскость — бесконечная плоская поверхность. На рисунке её изображают ограниченным многоугольником, но мысленно продолжают за его края. Такое представление нужно, чтобы рассуждать о точках и прямых в пространстве, не пытаясь изобразить всю поверхность.

Плоскость обозначают одной греческой буквой, например α, или называют по трём точкам, не лежащим на одной прямой. Три такие точки однозначно задают плоскость. Это удобно, когда плоскость на чертеже не подписана отдельной буквой.

Принадлежность точки плоскости показывает, лежит ли точка на этой поверхности. Запись A ∈ α читают: «точка A принадлежит плоскости α», а A ∉ α означает, что точка ей не принадлежит. Эти обозначения помогают кратко записывать условия и выводы.

Прямая, лежащая в плоскости, целиком принадлежит ей. Если две точки прямой лежат в плоскости, то в ней лежит вся прямая. Это свойство позволяет судить о прямой по двум её точкам, а не проверять каждую точку отдельно.

Как это устроено

Плоскость бесконечна, поэтому на листе можно показать только её часть. Обычно её границы обозначают линиями многоугольника, чтобы было видно, где расположена поверхность на чертеже. Эти линии нужны лишь для изображения: сама плоскость продолжается во все стороны за пределы рисунка. Если принять край рисунка за настоящий край плоскости, можно ошибочно решить, что точка или прямая за ним уже не принадлежит этой плоскости.

Три точки задают плоскость только тогда, когда не лежат на одной прямой. Представим, что через две точки проведена прямая, а третья находится вне неё: все три точки определяют единственное положение поверхности. Если же третья точка тоже лежит на этой прямой, то поверхность можно поворачивать вокруг прямой, не меняя положения всех трёх точек. Поэтому в таком случае плоскостей будет много, а не одна.

Для прямой достаточно проверить принадлежность плоскости двух её точек. Если обе точки прямой находятся на плоскости, то прямая, проходящая через них, целиком в ней лежит. Это не просто удобное сокращение: через две различные точки проходит ровно одна прямая, и её положение уже определено. По одной общей точке такой вывод сделать нельзя — прямая может выходить из плоскости.

Две различные плоскости с общими точками пересекаются по прямой. Если общая точка одна, через неё можно провести разные направления, и пересечение не могло бы ограничиться этой точкой: вблизи неё плоскости встречаются вдоль линии. Эта линия и есть прямая пересечения. Значит, каждая её точка принадлежит обеим плоскостям, а не только одна выбранная точка.

Плоскость можно задать также прямой и точкой, которая не лежит на этой прямой. Прямая задаёт направление и положение части будущей поверхности, а внешняя точка фиксирует, как именно поверхность проходит через неё. Через прямую можно провести много плоскостей, поэтому одной прямой недостаточно. Добавление точки вне неё оставляет ровно одну подходящую плоскость.

Как задать плоскость и определить взаимное расположение

Сначала найди в условии исходные данные: например, три точки или две точки прямой. Затем сопоставь их со строкой таблицы и сформулируй результат. Проверь, что выполнены все условия: особенно важно, чтобы три точки не лежали на одной прямой, а заданная точка не принадлежала прямой.

Разбор задач

Сколько плоскостей проходит через точки A, B и C, не лежащие на одной прямой?

В условии заданы три точки, и отдельно указано, что они не лежат на одной прямой. Это важно: именно такое расположение позволяет однозначно определить плоскость. Используем утверждение о трёх неколлинеарных точках, то есть точках, не лежащих на одной прямой.

1. Сопоставим условие с признаком задания плоскости: даны три точки.
2. Проверим указанное условие: точки не лежат на одной прямой.
3. По свойству через них проходит ровно одна плоскость.

Ответ: одна плоскость.

Точки P и Q прямой l лежат в плоскости α. Лежит ли в α точка R, если R принадлежит l?

Точки P и Q принадлежат одновременно прямой l и плоскости α. Значит, у прямой есть две точки, лежащие в этой плоскости. Нужно применить свойство прямой, а не рассматривать точку R отдельно от заданных P и Q.

1. Установим, что P и Q — две точки прямой l, принадлежащие плоскости α.
2. По свойству, если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней.
3. Точка R принадлежит прямой l, а вся l лежит в α. Следовательно, R принадлежит α.

Ответ: да, точка R лежит в плоскости α.

Плоскости α и β различны и имеют общие точки A и B. Определите их пересечение и объясните, почему точка C прямой AB также принадлежит обеим плоскостям.

Две точки A и B принадлежат обеим плоскостям, поэтому прямая AB является общей для них. Поскольку плоскости различны и имеют общие точки, их пересечение — прямая. Теперь применим свойство прямой, целиком лежащей в плоскости.

1. По точкам A и B проводим прямую AB.
2. Так как A и B принадлежат α и β, прямая AB лежит в обеих плоскостях.
3. Пересечение α и β — прямая AB. Точка C принадлежит AB, значит, она принадлежит и α, и β.

Ответ: плоскости пересекаются по прямой AB; точка C принадлежит обеим плоскостям.

Типичные ошибки

Можно решить, что изображённый параллелограмм и есть вся плоскость. Такое впечатление возникает потому, что на бумаге любой рисунок имеет края. Но эти края ограничивают только изображение, а не саму плоскость. Проверяй себя так: помни, что поверхность продолжается за нарисованный многоугольник.

Неверно утверждать, что любые три точки задают ровно одну плоскость. Часто забывают проверить, не лежат ли точки на одной прямой. Если все три точки коллинеарны, через их общую прямую проходит много плоскостей. Перед выводом проверь расположение точек и используй слово «ровно» только при условии, что они не лежат на одной прямой.

По одной общей точке нельзя заключить, что вся прямая лежит в плоскости. Ошибка появляется, когда свойство о двух точках вспоминают не полностью. Одна точка не определяет положение прямой относительно плоскости: она может пересекать её и уходить за её пределы. Для проверки найди на этой прямой две точки, принадлежащие плоскости.

Ошибочно считать, что две пересекающиеся плоскости имеют только одну общую точку. На рисунке их общая линия иногда почти не видна, и кажется, что поверхности соприкоснулись лишь в одном месте. На самом деле разные плоскости с общими точками пересекаются по прямой. Проверь вывод по свойству пересечения: это не отдельная точка, а целая линия.

Связь с другими темами

Чтобы изучать плоскость, нужно уже знать, что такое точка и прямая, и понимать, когда точка принадлежит прямой. Эти понятия позволяют описывать положение объектов не только на чертеже, но и в пространстве. Плоскость помогает устанавливать, какие точки и прямые лежат на одной поверхности и как расположены разные поверхности друг относительно друга. Позже это представление пригодится при изучении многогранников: их грани являются частями плоскостей.

Что запомнить

• Плоскость бесконечна, а на рисунке показывают только её часть.
• Плоскость обозначают греческой буквой или по трём неколлинеарным точкам.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.
• Через прямую и точку вне неё проходит ровно одна плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней.
• Пересечение двух различных плоскостей — прямая.