1.27. Плоские и объёмные фигуры

Определения и обозначения

Плоская фигура — это фигура, все точки которой лежат в одной плоскости. К ней относятся многоугольники, например треугольник и квадрат, а также круг. Это определение помогает понять, почему такие фигуры можно целиком рассматривать на плоском листе.

Объёмная фигура занимает часть пространства и имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Куб и шар — примеры таких фигур. Их нужно отличать от плоских фигур, потому что для описания объёмного тела недостаточно указать только длину и ширину.

Многогранник — объёмная фигура, поверхность которой состоит из плоских многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, линии, по которым грани соединяются, — рёбрами, а точки встречи рёбер — вершинами. Названия помогают описывать строение многогранника и считать его элементы.

Тело вращения — объёмная фигура, поверхность которой можно получить вращением плоской фигуры вокруг прямой. К таким телам относятся цилиндр, конус и шар. Это определение связывает знакомые плоские фигуры с объёмными телами и позволяет представить, как они устроены.

Как это устроено

Чтобы отличить плоскую фигуру от объёмной, представь, где расположены все её точки. Если достаточно одной плоскости, как для квадрата или круга, фигура плоская. Если она занимает часть пространства, приходится учитывать ещё одно направление — высоту; так устроены куб и шар. Поэтому число измерений зависит от того, рассматриваем ли мы только плоскость или пространство.

Изображение куба на странице не становится настоящим кубом: бумага остаётся плоской и не приобретает толщину и высоту тела. На рисунке линии изображают рёбра, а расположение этих линий помогает глазу представить форму. Значит, изображение передаёт объём условно, а само изображаемое тело мысленно воспринимают как пространственное.

У многогранника каждая грань — плоский многоугольник, поэтому соседние грани соприкасаются по общим сторонам. Эти общие стороны образуют рёбра, а концы рёбер сходятся в вершинах. Такая связь возникает потому, что многоугольники соединены в единую поверхность, а не существуют отдельно. Например, у куба грани — квадраты, соединённые по рёбрам.

Связь плоских и объёмных фигур видна в устройстве их поверхностей. Многоугольники, которые сами являются плоскими фигурами, становятся гранями многогранника. У цилиндра и конуса есть круги в основании: круг остаётся плоским, хотя служит частью объёмного тела. Поэтому нужно различать саму плоскую фигуру и тело, с которым она связана.

Тело вращения можно мысленно построить, поворачивая плоскую фигуру вокруг прямой — оси вращения. Если прямоугольник вращается вокруг одной из сторон, точки противоположной стороны описывают окружность, и образуется цилиндр. При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета его вершина движется по окружности, образуя конус. Полукруг при вращении вокруг диаметра заполняет форму шара.

Сравнение плоских и объёмных фигур

Сравнивай фигуры по строкам таблицы: сначала определи, лежит ли фигура в плоскости или занимает пространство, затем посмотри на число измерений. Строка о строении относится к разным объектам: стороны и вершины многоугольника не следует смешивать с элементами многогранника. Помни, что даже объёмное тело на странице показано плоским рисунком.

Разбор задач

Задача 1

Условие: распределите квадрат, круг, куб, цилиндр и шар на плоские и объёмные фигуры. Решим, проверяя для каждого объекта, достаточно ли одной плоскости или он занимает часть пространства. Так мы используем определение, а не ориентируемся только на внешний вид названия.

1. Квадрат и круг целиком лежат в одной плоскости, поэтому это плоские фигуры.
2. Куб, цилиндр и шар занимают часть пространства и имеют три измерения, поэтому они объёмные фигуры.
3. Проверим, что круг не перепутан с шаром: круг плоский, а шар объёмный.

Ответ: плоские фигуры — квадрат и круг; объёмные — куб, цилиндр и шар.

Задача 2

Условие: найдите число граней, рёбер и вершин куба и укажите, какие плоские фигуры являются его гранями. Представим, что куб составлен из одинаковых квадратов, и проследим, как они соединяются. Этот способ помогает не перепутать грани с рёбрами и вершинами.

1. У куба две грани сверху и снизу, а также четыре боковые грани; всего 6 граней.
2. У каждой грани есть 4 стороны, но каждое ребро принадлежит сразу двум граням, поэтому получаем 6 · 4 ÷ 2 = 12 рёбер.
3. На каждой из двух параллельных квадратных сторон куба по 4 вершины; всего 8 вершин. Все грани куба — квадраты, то есть плоские многоугольники.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; его грани — квадраты.

Задача 3

Условие: определите, какое тело получится при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, а затем сравните результат с вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Нужно представить, как движутся точки фигур вокруг выбранной оси. В каждом случае ось проходит по стороне или катету, но форма движущейся фигуры различается.

1. При вращении прямоугольника вокруг стороны точки противоположной стороны описывают окружность. Прямоугольник заметает цилиндрическую поверхность, поэтому получается цилиндр.
2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета его вершина, не лежащая на оси, движется по окружности. Сторона напротив прямого угла заметает поверхность конуса.
3. Сравним тела: у цилиндра два равных круглых основания, а у конуса — одно круглое основание и вершина.

Ответ: при вращении прямоугольника получается цилиндр, а прямоугольного треугольника вокруг катета — конус.

Типичные ошибки

Ошибка: считать рисунок куба на странице плоской фигурой. Так думают, потому что рисунок действительно находится на плоском листе, но путают изображение с изображаемым телом. Проверь себя: спроси, о чём говорится — о линиях на бумаге или о самом кубе; куб занимает пространство.

Ошибка: называть рёбра и вершины плоскими фигурами. Их можно увидеть на рисунке, поэтому они иногда кажутся отдельными фигурами, но это элементы многогранника: ребро соединяет грани, а вершина — место встречи рёбер. Чтобы проверить ответ, выясни, описываешь ли ты целую фигуру или только её часть.

Ошибка: путать круг и шар. Их названия похожи, а на рисунке шар может выглядеть как круг, поэтому важно вспомнить определения. Круг лежит в плоскости, шар занимает часть пространства; проверка по числу измерений сразу снимает путаницу.

Ошибка: считать, что у любой объёмной фигуры есть грани, рёбра и вершины. Эти элементы относятся к многогранникам, у которых поверхность составлена из многоугольников, а шар не разделён на такие грани. Проверяя ответ, сначала определи, многогранник ли перед тобой, и только затем ищи его элементы.

Связь с другими темами

До изучения объёмных фигур полезно узнавать и описывать треугольник, прямоугольник, квадрат и круг. Эти знакомые плоские фигуры помогают понять, из чего состоят грани многогранников и какие фигуры могут стать основаниями цилиндра или конуса. Умение различать их не даёт спутать плоскую часть тела с самим телом.

Представления о плоских и объёмных фигурах пригодятся при изучении многогранников, тел вращения и развёрток. Развёртка показывает поверхность объёмного тела в плоском виде, поэтому нужно понимать, как плоские элементы складываются в пространственную форму. Эти знания также станут основой для вычисления площадей поверхностей и объёмов.

Что запомнить

• Плоская фигура лежит в одной плоскости.
• Объёмная фигура занимает часть пространства.
• Грани многогранника — плоские многоугольники.
• Рёбра — линии соединения граней, вершины — точки встречи рёбер.
• Круг плоский, шар объёмный.
• Изображение объёмного тела на бумаге не превращает его в плоскую фигуру.