1.26. Острые и тупые углы

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Например, у угла ABC вершина — точка B, а стороны — лучи BA и BC. Это помогает правильно описывать угол и понимать, какие именно лучи образуют его раскрытие.

Острый угол — угол, величина которого больше 0° и меньше 90°. Значит, он уже прямого угла, но не является нулевым: стороны немного расходятся. Такое определение позволяет установить вид угла по его градусной мере, не полагаясь только на внешний вид чертежа.

Прямой угол — угол, величина которого равна 90°. Он служит ориентиром, с которым удобно сравнивать другие углы. Если два луча образуют прямой угол, его величину не меняют ни положение на листе, ни длина сторон.

Тупой угол — угол, величина которого больше 90° и меньше 180°. Его раскрытие шире прямого, но стороны ещё не образуют развёрнутый угол. Это определение помогает отличить тупой угол от прямого и от угла, равного 180°.

Как это устроено

Величину угла сравнивают с прямым, потому что 90° — удобная точная граница между острыми и тупыми углами. Если раскрытие меньше прямого, угол острый; если больше — тупой, пока он не достиг 180°. При таком сравнении не нужно угадывать название угла по тому, насколько широко он кажется раскрытым.

Ровно 90° не включают ни в острые, ни в тупые углы: это отдельный вид — прямой угол. Поэтому слова «меньше» и «больше» здесь существенны: острый угол должен быть меньше 90°, а тупой — строго больше. Так границы видов не пересекаются и один угол нельзя одновременно назвать острым и тупым.

Если градусная мера известна, сначала найдите её числовое значение, а затем сравните с границами. Например, угол 72° острый, потому что 0° < 72° < 90°. Угол 128° тупой, поскольку 90° < 128° < 180°; значение за пределами этих интервалов нельзя называть ни острым, ни тупым.

На чертеже стороны могут смотреть вверх, вниз или вбок — вид угла от этого не меняется. Нужно смотреть на раскрытие именно между двумя лучами, начинающимися в общей вершине, а не на то, насколько вертикально или горизонтально направлены стороны. Чтобы не ошибиться, можно приложить к углу прямой угол или мысленно повернуть весь чертёж: поворот меняет положение фигуры, но не её величину.

Транспортир помогает получить числовую меру, когда глазом сравнить трудно. Совместите центр транспортира с вершиной, нулевую отметку — с одной стороной угла и посмотрите, на каком делении проходит другая сторона. Полученное число сравните с 90°: меньше — острый, ровно 90° — прямой, больше 90° и меньше 180° — тупой.

Виды углов и их градусные меры

Сначала найдите в таблице известную градусную меру, затем проверьте, в какой промежуток она попадает. Если значение равно 90°, выбирайте прямой угол, а не соседние виды. Сравнение с прямым углом также подсказывает ответ, когда точное число пока неизвестно.

Разбор задач

Задача. Определите, какой это угол: 43°. Здесь уже дана градусная мера, поэтому строить чертёж не требуется. Достаточно сравнить число с 90° и проверить, что оно больше 0°.

1. Запишем границы острого угла: больше 0° и меньше 90°.
2. Сравним: 0° < 43° < 90°. Значит, значение попало в промежуток острых углов.
3. Следовательно, угол величиной 43° является острым.

Ответ: острый угол.

Задача. На чертеже угол выглядит широко раскрытым. Как проверить, является ли он тупым, если по рисунку трудно судить? Вид может обманывать, потому что чертёж иногда делают не в масштабе. Поэтому нужно сравнить угол с прямым или измерить его транспортиром.

1. Найдём вершину и стороны угла, чтобы оценивать раскрытие между нужными лучами.
2. Приложим прямой угол для сравнения либо измерим угол транспортиром, совместив центр с вершиной и нулевую отметку с одной стороной.
3. Если раскрытие больше 90°, но меньше 180°, угол тупой. Если получено 90° или меньше, это не тупой угол.

Ответ: угол является тупым, если сравнение или измерение показало значение больше 90° и меньше 180°.

Задача. Угол ABC равен 90° − 24°. Определите его вид и объясните ответ. Сначала нужно вычислить градусную меру: пока выражение не посчитано, сравнивать его с границей неудобно. Затем применим те же границы, что и для любого другого угла.

1. Вычислим разность: 90° − 24° = 66°.
2. Сравним результат с 90°: 0° < 66° < 90°.
3. Полученная мера меньше прямого угла, поэтому ABC — острый угол.

Ответ: угол ABC острый, его величина равна 66°.

Типичные ошибки

Ошибка — считать угол тупым только потому, что он выглядит широко раскрытым. Так думают, когда полагаются на впечатление от рисунка, хотя его могли выполнить не в масштабе. Сравните угол с прямым или измерьте транспортиром: только значение больше 90° и меньше 180° подтверждает, что угол тупой.

Ошибка — называть угол в 90° острым или тупым. Её допускают, если забывают, что слова «меньше» и «больше» не включают саму границу. Проверьте число: ровно 90° означает прямой угол, а острый и тупой лежат по разные стороны от этой отметки.

Ошибка — связывать величину угла с длиной его сторон. Длинные лучи могут визуально казаться более раскрытыми, но расстояние от вершины до конца нарисованной стороны ничего не говорит о градусной мере. Проверьте себя: если продолжить или укоротить лучи, сохранив их направления, величина угла останется прежней.

Ошибка — определять вид угла по наклону сторон на рисунке, не учитывая вершину и раскрытие между лучами. Например, вертикальная сторона сама по себе не делает угол прямым, а наклонная — острым. Найдите общее начало лучей, рассматривайте промежуток между ними и сравните его с прямым углом или измерьте транспортиром.

Связь с другими темами

Для работы с острыми и тупыми углами нужно знать, что такое угол, где находятся его вершина и стороны, и как измерять градусы. Прямой угол служит опорой для сравнения и помогает понять, что означают перпендикулярные прямые: при пересечении они образуют прямые углы. Распознавание и измерение углов пригодится при изучении геометрических фигур, построениях и решении задач на углы.

Что запомнить

• Острый угол больше 0° и меньше 90°.
• Прямой угол равен 90°.
• Тупой угол больше 90° и меньше 180°.
• Угол в 90° не является ни острым, ни тупым.
• Длина сторон угла не меняет его величину.
• По рисунку угол можно сравнить с прямым, а точнее измерить транспортиром.