2.74. Больше в... Меньше в...

Определения и обозначения

Увеличить число в несколько раз — значит умножить его на указанное число. Например, увеличить 4 в 3 раза — это вычислить 4 · 3 и получить 12. Такой способ используют, когда количество становится одинаковым числом раз больше исходного.

Уменьшить число в несколько раз — значит разделить его на указанное число. Например, уменьшить 12 в 3 раза — это вычислить 12 : 3 и получить 4. Деление помогает узнать, сколько предметов останется в каждой из равных частей.

Вопрос «во сколько раз больше?» означает, что нужно сравнить большее число с меньшим делением. Например, чтобы сравнить 12 и 4, вычисляют 12 : 4 = 3. Результат показывает, сколько раз меньшее количество содержится в большем.

Вопрос «во сколько раз меньше?» тоже требует сравнения чисел делением: большее делят на меньшее. Так, 4 меньше 12 в 3 раза, потому что 12 : 4 = 3. Это выражение описывает отношение количеств, а не разность между ними.

Как это устроено

Представь одну группу из 4 предметов. Если таких одинаковых групп стало 3, всего предметов 4 + 4 + 4, то есть 4 · 3 = 12. Поэтому увеличение в несколько раз связано с умножением: оно показывает общее количество в нескольких равных группах.

Теперь представь 12 предметов, которые нужно поровну распределить на 3 группы. В каждой группе будет 12 : 3 = 4 предмета. Так объясняется уменьшение в несколько раз: деление на число раз показывает размер одной из равных частей исходного количества.

Если одно число в несколько раз больше другого, меньшее количество повторяется несколько раз. Например, если в первой коробке 4 карандаша, а во второй их в 3 раза больше, во второй окажется 4 · 3 = 12 карандашей. Умножение подходит, потому что известен размер одной группы и нужно найти количество в нескольких таких группах.

Если известно большее количество и число раз, меньшее находят делением. Например, 12 карандашей в 3 раза больше, чем количество в другой коробке, значит, в другой коробке 12 : 3 = 4 карандаша. Деление как бы отменяет умножение и возвращает к размеру одной группы.

Вопросы «на сколько больше?» и «во сколько раз больше?» требуют разных действий. Чтобы узнать разницу между 12 и 4, вычитают: 12 − 4 = 8; это разница в предметах. Чтобы выяснить, во сколько раз 12 больше 4, делят: 12 : 4 = 3; результат показывает число раз.

Перед решением задачи определи, какое количество больше и какое меньше, а затем внимательно прочитай вопрос. Если нужно узнать, сколько предметов стало при увеличении, обычно умножают; если ищут исходное меньшее количество — делят. Слова «на сколько» указывают на разность, а слова «во сколько раз» — на частное.

Как сравнивать и изменять числа в несколько раз

Найди в таблице слова из условия задачи и сверь их с тем, что требуется узнать. Для вопроса «во сколько раз?» дели большее число на меньшее, а для вопроса «на сколько?» находи разность. Перед ответом проверь, соответствует ли действие смыслу задачи.

Разбор задач

Задача 1. В одной коробке 4 карандаша, а в другой в 3 раза больше. Сколько карандашей во второй коробке? Слово «больше» здесь сопровождается словами «в 3 раза», поэтому количество не прибавляют на 3, а берут три группы по 4 карандаша. Нужно найти общее число предметов в этих группах.

1. В первой коробке 4 карандаша — это количество в одной группе.
2. Во второй коробке таких групп 3, поэтому вычисляем 4 · 3 = 12.
3. Проверяем смысл: 12 карандашей можно разделить на 3 равные группы по 4.

Ответ: во второй коробке 12 карандашей.

Задача 2. В большой корзине 24 яблока, а в маленькой в 4 раза меньше. Сколько яблок в маленькой корзине? Известно большее количество, а нужно узнать, сколько приходится на одну из четырёх равных частей. Поэтому выбираем деление, а не вычитание.

1. Общее большее количество яблок — 24.
2. Слово «в 4 раза меньше» означает разделить 24 на 4: 24 : 4 = 6.
3. Проверяем: если в маленькой корзине 6 яблок, то 4 таких количества составят 24.

Ответ: в маленькой корзине 6 яблок.

Задача 3. В первом альбоме 18 марок, во втором 6 марок. Нужно узнать, во сколько раз марок в первом альбоме больше, чем во втором, и на сколько. Здесь заданы два разных вопроса: один о кратном сравнении, второй — о разнице в марках. Для них понадобятся два действия.

1. Сначала сравниваем числа делением: 18 : 6 = 3. Это ответ на вопрос «во сколько раз».
2. Затем находим разность: 18 − 6 = 12. Это ответ на вопрос «на сколько».
3. Сверяем единицы смысла: частное показывает число раз, а разность — количество марок.

Ответ: в первом альбоме в 3 раза больше марок, чем во втором, и на 12 марок больше.

Типичные ошибки

При увеличении в несколько раз иногда складывают исходное число с числом раз. Так путают кратное увеличение с увеличением на несколько единиц: «в 3 раза больше» означает умножить на 3, а не прибавить 3. Проверь себя: если исходное количество повторяется в несколько одинаковых групп, нужно умножение.

При уменьшении в несколько раз иногда вычитают число раз вместо деления. Ошибка возникает, когда слова «в 4 раза меньше» принимают за «на 4 меньше», хотя речь идёт о равных частях. Для проверки умножь полученный результат на число раз: должно выйти исходное большее число.

В вопросе «во сколько раз?» можно по привычке найти разность. Но вычитание отвечает на вопрос о числе лишних единиц, а не о том, сколько раз одно количество помещается в другом. Проверь формулировку: если спрашивают «во сколько раз», найди частное и убедись, что оно показывает число раз.

При сравнении иногда делят меньшее число на большее, хотя требуется узнать, во сколько раз большее превышает меньшее. Тогда частное получается меньше единицы и не отвечает ожидаемому вопросу. Сначала подпиши, какое число больше, а затем раздели большее на меньшее.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны смысл умножения и деления, а также знание таблицы умножения: они помогают выбирать и выполнять действия. Кратное сравнение связано с обычным сравнением чисел и с различием вопросов «на сколько?» и «во сколько раз?». Эти приёмы пригодятся в задачах на пропорциональные величины, где значения изменяются в одинаковое число раз. Деление также помогает находить неизвестное число, если известны произведение и множитель.

Что запомнить

• Увеличить число в n раз — значит умножить его на n.
• Уменьшить число в n раз — значит разделить его на n.
• Чтобы узнать, во сколько раз большее число больше меньшего, большее делят на меньшее.
• Чтобы узнать, во сколько раз меньшее число меньше большего, большее делят на меньшее.
• Вопрос «на сколько?» обычно требует вычитания.
• Вопрос «во сколько раз?» обычно требует деления.