1.10. Параллелепипед и куб

Определения и обозначения

Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней, а противоположные грани попарно параллельны и равны. Многогранник состоит из плоских многоугольников, поэтому это определение помогает отличать параллелепипед от других объёмных тел. Свойства противоположных граней позволяют находить их размеры.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Такая форма знакома по коробке или кирпичу. Для неё удобно использовать три измерения: длину, ширину и высоту.

Грань прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник на его поверхности, ребро — сторона грани, а вершина — точка, в которой сходятся рёбра. Эти названия нужны, чтобы точно описывать строение тела. Например, по числу граней, рёбер и вершин можно распознавать фигуру.

Куб — прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами. Квадрат одновременно является прямоугольником, поэтому куб сохраняет свойства прямоугольного параллелепипеда. Его особенность в том, что все рёбра имеют одну и ту же длину.

Как это устроено

Представить прямоугольный параллелепипед можно так: мысленно переместить прямоугольник в пространстве в направлении, не лежащем в его плоскости. При перемещении каждая вершина прямоугольника образует отрезок, а исходный и получившийся прямоугольники становятся двумя гранями. Четыре боковые стороны движения тоже образуют прямоугольники, поэтому всего получается шесть граней.

Противоположные грани равны, потому что одна из них получается переносом другой без изменения формы и размеров. При таком перемещении сохраняются длины сторон и углы. Рёбра, идущие в одном направлении, также имеют одинаковую длину: они образуются переносом одного и того же отрезка. Поэтому у тела есть четыре ребра длины, четыре ширины и четыре высоты.

Три измерения возникают из трёх направлений рёбер, сходящихся в одной вершине. Длиной обычно называют размер основания спереди назад или слева направо, шириной — другой размер основания, а высотой — вертикальный размер. На схеме длину, ширину и высоту отмечают тремя рёбрами, выходящими из одной вершины, хотя конкретное расположение подписей может зависеть от положения тела.

Шесть граней образуют три пары противоположных: верхняя и нижняя, передняя и задняя, левая и правая. У каждой грани четыре стороны, но при подсчёте рёбер соседние грани имеют общие стороны. Поэтому 6 · 4 не даёт числа различных рёбер: каждое ребро посчитано дважды, и получается 6 · 4 : 2 = 12. В каждой вершине сходятся три ребра, поэтому 12 · 2 : 3 = 8 вершин.

Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, потому что квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. У обычного прямоугольного параллелепипеда длина, ширина и высота могут быть разными, а у куба они совпадают. Поэтому достаточно указать длину одного ребра куба, чтобы узнать длины всех его рёбер.

Сравнение прямоугольного параллелепипеда и куба

Сначала найди в условии форму граней и длины рёбер, а затем сравни их с нужной строкой. Если все три измерения совпадают, прямоугольный параллелепипед является кубом. Таблица также помогает не путать количество элементов тела с количеством его различных размеров.

Разбор задач

Задача 1

Назовём нижнюю грань параллелепипеда ABCD, а верхнюю — A₁B₁C₁D₁, где соответствующие вершины соединены рёбрами. Нужно назвать грани, рёбра и вершины, не считая только видимые линии. Используем все элементы модели тела.

1. Грани: ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁.
2. Рёбра: AB, BC, CD, DA; A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁; AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.
3. Вершины: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; названия перечислены выше.

Задача 2

Прямоугольный параллелепипед имеет длину 8 см, ширину 5 см и высоту 3 см. Требуется указать длины всех рёбер и размеры каждой пары противоположных граней. Одинаковые направления и противоположные грани будем объединять в группы.

1. Четыре ребра, идущие вдоль длины, имеют длину 8 см.
2. Четыре ребра, идущие вдоль ширины, имеют длину 5 см.
3. Четыре вертикальных ребра имеют длину 3 см.
4. Пара граней с размерами длина × ширина имеет размеры 8 × 5 см.
5. Пара граней с размерами длина × высота имеет размеры 8 × 3 см, а пара граней с размерами ширина × высота — 5 × 3 см.

Ответ: рёбра имеют длины 8 см, 5 см и 3 см — по четыре каждого вида; пары граней имеют размеры 8 × 5 см, 8 × 3 см и 5 × 3 см.

Задача 3

У прямоугольного параллелепипеда длина, ширина и высота равны 4 см. Нужно определить вид тела. Сравним все три измерения с условием, которое отличает куб от других прямоугольных параллелепипедов.

1. Записываем измерения: длина = 4 см, ширина = 4 см, высота = 4 см.
2. Значит, рёбра всех трёх направлений равны.
3. Каждая грань имеет размеры 4 × 4 см, то есть является квадратом.

Ответ: это куб, потому что все его рёбра равны, а все грани являются равными квадратами.

Типичные ошибки

Считать прямоугольник на рисунке обязательно квадратом — ошибка. Изображение объёмного тела часто выполняют с искажением, поэтому форму определяют по свойствам и указанным размерам. Проверь, равны ли стороны по условию, а не только на вид.

Путать грань и ребро тоже легко: грань является плоской частью поверхности, а ребро — линией, где встречаются две грани. Чтобы проверить себя, спроси: можно ли назвать этот элемент многоугольником или это только его сторона? В первом случае речь идёт о грани, во втором — о ребре.

Иногда считают только видимые рёбра и вершины. Часть элементов может быть скрыта за передними гранями, но у тела всё равно 12 рёбер и 8 вершин. Сверяй подсчёт с общей схемой или используй известные свойства фигуры.

Нельзя называть кубом любой прямоугольный параллелепипед. У куба все рёбра равны, тогда как длина, ширина и высота обычного тела могут различаться. Проверь три измерения: если хотя бы одно отличается, это не куб.

Связь с другими темами

Для изучения параллелепипеда нужны знания о прямоугольнике, квадрате, параллельных прямых и равных фигурах. Эти понятия помогают понять форму граней и свойства противоположных частей тела.

Тема пригодится при изучении объёма и площади поверхности. Она также связана с практическими задачами о коробках, упаковках, комнатах и других предметах, размеры которых задаются длиной, шириной и высотой.

Что запомнить

• У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны и параллельны.
• У прямоугольного параллелепипеда три измерения: длина, ширина и высота.
• Рёбра, идущие в одном направлении, имеют одинаковую длину.
• Куб — прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
• Все грани куба — равные квадраты.