1.15. Деление чисел, запись которых оканчивается нулём

Определения и обозначения

Круглое число — натуральное число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями. Например, 70, 300 и 12 000 — круглые числа. Это название помогает сразу заметить, что в вычислении может быть удобно выделить множители 10, 100 или больше.

Деление круглых чисел — нахождение частного у чисел, в записи которых есть общие конечные нули. Например, в выражении 240 : 30 у обоих чисел есть по одному конечному нулю. Такие вычисления удобно упрощать, чтобы работать с меньшими числами.

Сокращение нулей — удаление одинакового количества конечных нулей у делимого и делителя перед выполнением деления. Это не отдельное действие с цифрами: оно означает, что оба числа разделили на одинаковое число. Поэтому приём позволяет упростить вычисление, не меняя частное.

Разрядная единица — число 10, 100, 1000 и другие степени десяти, которыми выражается значение конечных нулей. Например, 500 = 5 · 100, а 7000 = 7 · 1000. Понимание разрядных единиц объясняет, почему общие нули можно сократить.

Как это устроено

У круглого числа конечные нули появляются потому, что оно содержит множитель 10, 100, 1000 или другую степень десяти. Например, 240 = 24 · 10, а 30 = 3 · 10. Значит, общие конечные нули показывают общие множители делимого и делителя. Если выделить их, деление больших чисел можно заменить делением меньших.

Частное не меняется, если делимое и делитель разделить на одно и то же ненулевое число. Это можно увидеть из обратного действия: частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом, и одинаковое уменьшение обоих чисел не меняет это отношение. Например, 240 : 30 = (240 : 10) : (30 : 10) = 24 : 3. В обоих случаях частное равно 8.

Количество нулей, которые можно убрать, определяют по делителю: общих нулей не может быть больше, чем конечных нулей у него. Сравните количество нулей в записи обоих чисел и выберите меньшее. Например, в 5600 два конечных нуля, а в 70 — один, поэтому убрать можно только один у каждого числа. Оставшийся ноль у делимого не исчезает и учитывается в числе 560.

Сначала посчитайте общие конечные нули, затем удалите одинаковое их количество у делимого и делителя. После этого разделите получившиеся числа обычным способом. Например, для 84000 : 2400 общими будут два нуля, а после сокращения останется 840 : 24. Такой порядок помогает не потерять разряд и не изменить частное случайным удалением цифр.

После сокращения проверьте вычисление обратным действием: умножьте частное на исходный делитель. Деление и умножение связаны так, что произведение частного и делителя должно дать делимое. Проверять нужно именно с исходным делителем, а не только с тем, который получился после сокращения. Если произведение совпало с исходным делимым, ответ подтверждён.

Деление чисел, оканчивающихся нулями

В таблице показано, как выбрать количество нулей для сокращения в разных случаях. В графе с примером приведены числа, для которых можно применить указанное правило. После сокращения остаётся выполнить деление получившихся чисел.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 240 : 30. В записи каждого числа есть по одному конечному нулю, поэтому можно разделить оба числа на 10. Так мы заменим исходное деление более простым, сохранив его частное.

1. У делимого и делителя по одному общему конечному нулю.
2. Сокращаем его: 240 : 30 = 24 : 3.
3. Делим: 24 : 3 = 8.

Ответ: 8. Проверка: 8 · 30 = 240. Получилось исходное делимое, значит вычисление верно.

Задача 2. Вычислить 5600 : 70. У делимого два конечных нуля, но у делителя только один, следовательно, общим является лишь один ноль. После его сокращения у делимого останется ноль: важно сохранить его в числе, а не пытаться убрать отдельно.

1. Находим один общий конечный ноль у чисел 5600 и 70.
2. Делим оба числа на 10: 5600 : 70 = 560 : 7.
3. Выполняем деление: 560 : 7 = 80.

Ответ: 80. Проверка: 80 · 70 = 5600. Оставшийся ноль учтён, потому что делили число 560, а не 56.

Задача 3. Вычислить 84000 : 2400. У делимого три конечных нуля, у делителя два, поэтому общими являются два. Разделим оба числа на 100: частное сохранится, а числа для деления станут меньше. Оставшийся ноль у делимого входит в число 840.

1. Сокращаем два общих нуля: 84000 : 2400 = 840 : 24.
2. Проверяем, что деление не изменилось: и 84000, и 2400 разделили на 100.
3. Делим: 840 : 24 = 35, потому что 24 · 35 = 840.

Ответ: 35. Проверка исходного выражения: 35 · 2400 = 84000. Значит, частное найдено правильно.

Типичные ошибки

Убирают нули только у делимого, оставляя делитель без изменения. Так частное меняется, потому что делимое уменьшили, а делитель — нет; ошибку часто допускают, принимая сокращение за удаление цифр. Проверить себя можно вопросом: разделил ли я оба числа на одно и то же число?

Удаляют у делимого больше нулей, чем у делителя. Тогда числа разделены на разные степени десяти, и исходное частное уже не сохраняется; ошибка обычно возникает, когда считают только нули делимого. Сравните их количество у обоих чисел и убедитесь, что сокращённых нулей не больше, чем у делителя.

Принимают сокращение за обычное зачёркивание цифр и не учитывают разрядное значение оставшихся цифр. Например, после одного общего нуля в 5600 : 70 остаётся 560 : 7, а не 56 : 7. Чтобы избежать ошибки, разделите оба исходных числа на 10 и запишите получившиеся числа целиком.

Неверно делят числа после сокращения или не проверяют результат умножением. Даже верно выбранные нули не гарантируют, что само деление выполнено без ошибки; иногда ответ кажется правдоподобным и остаётся непроверенным. Умножьте частное на исходный делитель: произведение должно совпасть с делимым.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны таблица умножения и деления, связь деления с умножением, разрядный состав чисел и умножение на 10, 100 и 1000. Эти знания помогают понять, почему нули обозначают множители и как проверить частное. Сокращение общих нулей упрощает письменное деление многозначных чисел, потому что делитель и делимое становятся короче. Приём пригодится в текстовых задачах и при работе с единицами измерения, а также при делении чисел, представленных как произведение числа и степени десяти.

Что запомнить

• Конечный ноль означает наличие множителя 10.
• Одинаковое количество конечных нулей можно убрать у делимого и делителя.
• Сокращать можно только общие конечные нули.
• После сокращения делят получившиеся числа.
• Количество сокращённых нулей не должно превышать количество нулей у делителя.
• Правильность результата проверяют умножением частного на делитель.