"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Доля показывает одну или несколько равных частей целого и записывается обыкновенной дробью. Чтобы сравнить доли, сначала проверяют, относятся ли они к одному и тому же целому. При одинаковых знаменателях сравнивают числители, а при одинаковых числителях большей будет дробь с меньшим знаменателем. Если оба числа различаются, дроби приводят к общему знаменателю или сравнивают с помощью рисунка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Доля — одна или несколько равных частей целого. Например, если яблоко разделили на пять одинаковых частей, одна часть — это 1/5, а три части — 3/5. Понимание доли помогает описывать, какую часть предмета или величины взяли.
Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили целое. В дробях 1/5 и 3/5 знаменатель 5 сообщает, что целое разделено на пять частей. По знаменателю можно определить размер одной части.
Числитель дроби показывает, сколько таких частей взяли. В дроби 3/5 взяли три части из пяти равных частей целого, а в 1/5 — только одну. Поэтому числитель помогает узнать, сколько единичных долей составляет данная доля.
Единичная доля — одна из равных частей целого, записываемая дробью с числителем 1. Дроби 1/2, 1/7 и 1/10 являются единичными долями. Сравнение единичных долей особенно удобно, когда числители дробей одинаковы.
Сравнение долей начинают с выяснения, обозначают ли дроби части одного и того же целого. Например, 1/2 круга и 1/2 маленького круга имеют одинаковую запись, но реальные части могут быть разными по размеру. Поэтому сначала выбирают одинаковые по размеру целые или приводят величины к общей мерке.
При одинаковых знаменателях доли имеют равный размер, потому что целые разделили на одинаковое число равных частей. Тогда меняется только количество взятых частей. Например, в 3/8 взяли три восьмых, а в 5/8 — пять таких же восьмых, поэтому 3/8 < 5/8.
При одинаковых числителях сравнивают размер одной части. Если целое разделить на большее число равных частей, каждая часть станет меньше: шестая часть меньше четверти, потому что шесть частей мельче, чем четыре. Поэтому при одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем.
Доли с разными числителями и знаменателями можно сравнить, приведя дроби к общему знаменателю или сопоставив их с единичными долями. Общий знаменатель превращает части в одинаковые по размеру, после чего становится возможным сравнение числителей. Иногда удобнее заметить, например, что дробь близка к 1 или меньше известной единичной доли.
Сравнение можно проверить рисунком. Одинаковые целые делят на нужное число равных частей и закрашивают указанное количество частей. Чем больше получившаяся закрашенная область, тем больше соответствующая доля.
| Условие | Как сравнить | Пример |
|---|---|---|
| Одинаковые знаменатели | Сравнить числители | 3/8 < 5/8 |
| Одинаковые числители | Больше дробь с меньшим знаменателем | 1/4 > 1/6 |
| Разные числители и знаменатели | Привести дроби к общему знаменателю | 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12 |
| Проверка сравнения | Изобразить доли на одинаковых целых | Сравнить закрашенные части |
Сначала найди, совпадают ли знаменатели или числители. Если совпадает знаменатель, сравнивай числители, а если числитель — знаменатели в обратном порядке. При отсутствии совпадений используй общий знаменатель, а рисунок применяй для проверки.
У дробей одинаковые знаменатели, поэтому обе они составлены из восьмых долей. Нужно узнать только, сколько таких одинаковых частей взяли в каждой дроби.
Ответ: 3/8 < 5/8.
Числители одинаковы: в обеих дробях взята одна часть. Но целые разделены по-разному, поэтому нужно сравнить размеры четверти и шестой части.
Ответ: 1/4 > 1/6. На рисунке закрашенная четверть будет больше закрашенной шестой части.
Здесь различаются и числители, и знаменатели, поэтому сразу сравнить числа нельзя. Приведём дроби к общему знаменателю 12, потому что 12 делится и на 4, и на 6.
Ответ: 3/4 < 5/6. Общий знаменатель сделал доли одинакового размера, поэтому сравнение стало таким же, как сравнение чисел 9 и 10.
При одинаковых знаменателях иногда сравнивают знаменатели. Это неверно: знаменатели уже показывают одинаковый размер частей, поэтому нужно считать количество взятых частей. Проверь себя вопросом: «Чего больше — одинаковых частей в первой дроби или во второй?»
При одинаковых числителях иногда считают большей дробь с большим знаменателем. Ошибка появляется из-за сравнения самих чисел без учёта смысла знаменателя: чем больше частей в целом, тем мельче каждая часть. Для проверки представь один предмет, разделённый сначала на 4, а затем на 6 частей.
Нельзя сравнивать доли разных по размеру целых так, будто они относятся к одному предмету. Одинаковая запись дроби не гарантирует одинаковый размер реальной части. Нарисуй целые рядом и проверь, совпадают ли их размеры.
При приведении к общему знаменателю иногда умножают только знаменатель. Тогда значение дроби меняется, потому что число взятых частей осталось прежним, а размер части изменился. Всегда умножай числитель и знаменатель на одно и то же число и проверяй равенство исходной и новой дроби.
До изучения сравнения долей нужно понимать смысл числителя и знаменателя, уметь делить целое на равные части и сравнивать натуральные числа. Эти знания объясняют, почему одинаковые знаменатели позволяют сравнивать числители, а одинаковые числители — размеры частей.
Навык пригодится при сравнении обыкновенных дробей и их расположении по порядку. Он также нужен в задачах, где требуется определить, какая часть величины больше или меньше.
Почему при одинаковых знаменателях сравнивают числители?
Одинаковые знаменатели означают, что целое разделили на одинаковое число равных частей. Поэтому части имеют одинаковый размер, и больше та доля, в которой таких частей взяли больше.
Какая дробь больше при одинаковых числителях?
Больше дробь с меньшим знаменателем. При делении целого на меньшее число равных частей каждая часть получается крупнее.
Можно ли сравнивать доли, если целые имеют разный размер?
Напрямую сравнивать такие доли нельзя: одна и та же дробь может обозначать части разных по размеру целых. Сначала нужно установить общий размер целого или перевести доли к сопоставимым величинам.
Как сравнить дроби с разными числителями и знаменателями?
Обычно дроби приводят к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число. После этого сравнивают числители полученных дробей.
Как проверить сравнение дробей рисунком?
Нужно изобразить одинаковые по размеру целые, разделить их на нужное число равных частей и закрасить указанное количество частей. Более крупная закрашенная область соответствует большей доле.
1.37. Сравнение долей
