1.38. Нахождение числа по доле

Определения и обозначения

Доля — одна или несколько равных частей целого. Если целое разделили на n одинаковых частей и взяли m из них, эту долю записывают обыкновенной дробью m/n: число сверху называют числителем, а снизу — знаменателем. Такое обозначение помогает точно сказать, сколько частей взяли и на сколько частей разделили целое.

Дробь m/n числа показывает результат деления числа на n равных частей и взятия m таких частей. Например, 3/5 числа — это три части из пяти равных частей этого числа. Это значение можно найти, разделив число на 5, а результат умножив на 3; такая связь позволяет понимать, какие действия надо обратить.

Нахождение числа по доле — действие, при котором по известному значению доли восстанавливают целое число. Например, если известно, чему равны три пятых числа, нужно определить размер всего числа, а не ещё одной его части. Этот способ используют, когда в задаче дана часть величины, а требуется узнать всю величину.

Как это устроено

Если известна одна n-я доля числа, целое состоит из n одинаковых частей такого размера. Поэтому, чтобы собрать целое, значение доли складывают само с собой n раз. Короткая запись этого повторного сложения — умножение значения доли на n: если одна n-я часть равна a, то N = a · n.

Если известна доля m/n, значение a относится сразу к m одинаковым частям, а не к одной. Чтобы узнать размер одной части, нужно разделить a на m: это действие делит известную группу равных частей на количество частей в ней. После этого для восстановления целого найденную часть умножают на n, поскольку всего частей n. Получается формула N = a · n/m.

Нахождение доли и восстановление целого связаны как обратные действия. Чтобы найти m/n числа, сначала делят целое на n, а потом умножают результат на m. Если известна получившаяся доля, её делят на m, чтобы отменить умножение, а затем умножают на n, чтобы отменить деление. Порядок меняется, потому что обратные действия выполняются в обратной последовательности.

Проверка использует тот же смысл дроби, что и исходное условие. Найденное целое делят на знаменатель, получая размер одной части, а затем умножают на числитель, получая известное число частей. Если получилось значение a, вычисление согласуется с условием. Если нет, стоит проверить, не перепутаны ли числитель со знаменателем и действия с ними.

В текстовой задаче сначала выясняют, какая дробь числа известна: одна n-я часть или m/n целого. Затем находят, чему эта доля равна, и выбирают обратные действия, не забывая, что числитель показывает число известных частей. После вычисления записывают ответ с подходящими единицами измерения, например сантиметрами или килограммами. Такая последовательность помогает не спутать восстановление целого с поиском его части.

Как найти число по известной доле

В таблице собраны действия для двух случаев: известна одна равная часть или известны сразу несколько частей. Буква a обозначает значение доли, а N — искомое целое число. При проверке нужно вычислить указанную долю от полученного целого и сравнить её с a.

Разбор задач

Задача 1. Одна пятая числа равна 7. Найдите число. Здесь дана одна из пяти равных частей, а требуется узнать целое. Значит, достаточно восстановить все пять частей одинакового размера. Умножаем значение одной части на количество частей во всём числе.

1. Одна пятая равна 7, а число равных частей — 5.
2. Находим целое: 7 · 5 = 35.
3. Проверяем: 35 : 5 = 7, это совпадает с условием.

Ответ: 35. Проверка показывает, что пятая часть найденного числа действительно равна 7. При таком решении не нужно отдельно складывать пять семёрок: умножение даёт тот же результат. Здесь число 5 взято из знаменателя дроби 1/5.

Задача 2. Три четверти числа равны 18. Найдите число. Значение 18 соответствует трём равным частям, а не одной. Поэтому нельзя сразу умножать его на 4: сначала нужно узнать размер одной четверти. Затем восстановим четыре четверти, составляющие целое.

1. Находим одну четверть: 18 : 3 = 6.
2. В целом четыре четверти, значит, число равно 6 · 4 = 24.
3. Проверяем: 24 : 4 · 3 = 18.

Ответ: 24. Числитель 3 показывает, сколько четвертей составляют известные 18, поэтому на него делили. Знаменатель 4 показывает, сколько четвертей содержится во всём числе, поэтому на него умножили размер одной четверти. Проверка вернула значение доли из условия.

Задача 3. Пять восьмых длины ленты составляют 35 см. Найдите длину всей ленты и проверьте ответ. Здесь известны пять частей из восьми, а 35 см — их общая длина. Сначала разделим эту длину на число известных частей, чтобы узнать размер одной части. Потом найдём длину всех восьми частей и проверим результат по условию.

1. Одна восьмая ленты равна 35 : 5 = 7 см.
2. Восемь таких частей составляют всю ленту: 7 · 8 = 56 см.
3. Проверяем: 56 : 8 · 5 = 35 см.

Ответ: длина ленты — 56 см. В проверке пять восьмых найденной длины дали 35 см, как и указано в условии. Единицу измерения сохраняем во всех вычислениях, потому что делили и умножали длину. В других задачах в ответе указывают соответствующие единицы: например, метры, граммы или рубли.

Типичные ошибки

Иногда значение доли умножают на числитель, хотя уже известны именно столько равных частей. Ошибка возникает, если забыть, что числитель показывает число частей, объединённых в данное значение. Для дроби 3/4 это значение относится к трём частям, поэтому размер одной части находят делением на 3. Проверь себя: после деления должно получиться значение одной части.

Другая ошибка — разделить значение доли на знаменатель, восстанавливая целое. Знаменатель показывает, сколько частей нужно собрать во всём числе, поэтому после нахождения одной части на него умножают. Деление на знаменатель применяют, когда ищут одну часть по целому, а не наоборот. Проверка простой: полученное число должно быть больше одной части, если частей в целом больше одной.

Для дроби m/n иногда выполняют только умножение на n, не учитывая, что известное значение включает m частей. Это кажется похожим на правило для одной n-й доли, но оно подходит лишь тогда, когда m = 1. Сначала раздели значение на m, затем умножь на n. Чтобы проверить порядок, подставь найденное целое в выражение N · m/n: должен получиться исходный результат.

Наконец, нахождение числа по доле путают с нахождением доли от числа. В первом случае часть известна и требуется целое, во втором известно целое и требуется часть. Путаница появляется из-за одинаковых дробей, например 3/5, в условии. Перед вычислениями спроси себя, что дано и что нужно найти, а затем проверь ответ обратным действием.

Связь с другими темами

Чтобы находить число по доле, нужно уметь находить дробь от числа: делить на знаменатель и умножать на числитель. Здесь используются тот же смысл обыкновенной дроби как результата деления и обратные арифметические действия. Восстановление целого встречается в текстовых задачах на дроби, пропорции и проценты. Умение распознавать известную часть помогает выбирать нужное действие в каждом из этих случаев.

Что запомнить

• Доля m/n числа состоит из m равных частей, если целое разделено на n частей.
• Если одна n-я доля равна a, то целое равно a · n.
• Если m/n числа равно a, то целое равно a · n/m.
• При восстановлении целого действия выполняют в обратном порядке.
• Проверяй ответ, находя от него известную долю.
• В текстовой задаче указывай единицы измерения в ответе.