"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Дерево выбора — схема, которая помогает перечислить все результаты, если задача состоит из нескольких последовательных выборов. От начальной точки проводят ветви для возможных вариантов, а затем продолжают каждую подходящую ветвь. Один путь от начала до конца соответствует одному результату. Чтобы найти общее число вариантов, считают конечные пути: иногда удобнее пересчитать их, иногда — умножить число продолжений или сложить результаты отдельных случаев.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дерево выбора — схема, показывающая последовательность выборов и все возможные результаты. Его строят, когда нужно систематически перебрать варианты, а не надеяться, что все они вспомнятся сами собой. По схеме видно, какие решения принимаются одно за другим и к чему они приводят.
Вершина — точка схемы, обозначающая исходное состояние или результат очередного выбора. Начальная вершина показывает условия, с которых задача начинается, а остальные отмечают состояния после отдельных шагов. Вершины помогают видеть, где заканчивается один выбор и начинается следующий.
Ветвь — линия, соответствующая одному из возможных вариантов выбора. Из одной вершины может выходить несколько ветвей, если в этой ситуации доступны разные действия. Подписывая ветви, легче не забыть вариант и понять, какое решение привело к следующей вершине.
Путь — последовательность ветвей от начальной вершины до конечного результата. Он описывает не отдельное действие, а всю цепочку решений в задаче. Поэтому подсчёт путей позволяет определить, сколько полных результатов можно получить.
Дерево выбора используют, когда результат складывается из нескольких последовательных выборов: например, сначала выбирают юбку, затем блузку. Перечень всех сочетаний в таком случае легко запутать, особенно если вариантов много. Схема сохраняет порядок действий и показывает, какие решения могут сочетаться друг с другом.
Построение начинают с исходной вершины — записи условий, из которых стартует задача. От неё проводят отдельную ветвь для каждого возможного варианта первого выбора. Ни один вариант нельзя опустить: иначе все результаты, начинающиеся с него, исчезнут из схемы.
Каждый следующий выбор изображают новым уровнем ветвления: из каждой вершины проводят ветви для доступных в этой ситуации вариантов. Доступные варианты могут меняться после предыдущего выбора. Например, при составлении числа без повторения уже выбранную цифру нельзя использовать снова, поэтому число продолжений становится меньше.
Каждому конечному пути соответствует один возможный результат, потому что путь объединяет решения всех шагов в нужном порядке. И наоборот, у каждого результата есть отдельный путь: первые выборы задают его начало, а последующие — продолжение. Если два разных пути обозначают один результат, значит, схема построена с повтором или условие понято неверно.
Чтобы найти общее число вариантов, можно пересчитать конечные вершины или пути. Когда удобно разделить схему на отдельные ветви, считают пути в каждой части и складывают полученные количества. Если на каждом шаге одинаковое число продолжений, быстрее перемножить количества вариантов последовательных выборов; если продолжения различаются, сначала учитывают каждую ветвь отдельно.
Таблица связывает части дерева с их ролью в решении задачи. Сначала найди начальную вершину, затем проследи ветви по уровням до конца и посчитай результаты. Проверяй, что каждая допустимая ветвь продолжена, а конечные вершины соответствуют полным вариантам.
| Элемент или действие | Что показывает | Как используют |
|---|---|---|
| Начальная вершина | Исходные условия задачи | С неё начинают построение дерева |
| Первый уровень ветвей | Варианты первого выбора | Определяют число направлений дальнейшего перебора |
| Следующие уровни | Последовательные выборы | Продолжают каждую подходящую ветвь |
| Конечная вершина | Полностью составленный вариант | Считают все конечные вершины |
| Путь от начала до конца | Один полный результат | Используют для перечисления и подсчёта вариантов |
Задача 1. У Маши есть 2 юбки и 3 блузки. Сколько различных комплектов одежды можно составить, выбирая одну юбку и одну блузку?
Задача 2. Из города A в город B ведут 3 дороги, а из города B в город C — 2 дороги. Сколько маршрутов из A в C можно выбрать через B?
Задача 3. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 без повторения цифр?
Можно пропустить один из вариантов на ветви, если рисовать дерево без порядка. Так бывает, когда ученик просто вспоминает сочетания и не сверяет их со всеми исходными возможностями. Задай ветвям порядок и проверь, что из каждой вершины выходят ветви для всех разрешённых выборов.
Другая ошибка — сложить числа продолжений там, где выборы идут один за другим. Например, выбор юбки и выбор блузки образуют комплект, поэтому для каждой юбки нужно учесть все подходящие блузки. Проверь смысл: если нужно выполнить оба шага, часто требуется умножение; складывают количества отдельных взаимоисключающих случаев.
Иногда считают промежуточные вершины вместо конечных путей и получают лишние варианты. Промежуточная точка показывает только часть решения, например выбранную юбку без блузки. Для проверки проследи, что каждый подсчитанный результат проходит от начала до конца и включает все шаги условия.
Ещё одна ошибка — неверно учитывать повторение: разрешить его, когда условие запрещает, или запретить, когда оно допустимо. Причина обычно в том, что ограничение замечают не на каждом уровне дерева. Перед построением подчеркни слова о повторении или выборе без возвращения и сверяй каждую ветвь с ними.
Для работы с деревом нужно внимательно читать условие, перечислять варианты и уверенно выполнять сложение и умножение натуральных чисел. Эти навыки позволяют правильно задать ветви и проверить итоговый подсчёт. Если ограничение сформулировано словами, сначала выясни, какие выборы разрешены.
Схема пригодится в задачах на перебор: при составлении чисел, выборе маршрутов, расписаний и комплектов. В каждой из них результат получается после нескольких решений, и дерево показывает, как они соединяются. Для маленького числа вариантов его можно нарисовать целиком, а для большого — использовать как способ обосновать подсчёт.
Дерево выбора подготавливает к правилу произведения, которое позволяет считать результаты последовательных выборов без полного перечисления. Оно также помогает понять основы комбинаторики — раздела о подсчёте сочетаний и способов выбора. Позже эти способы подсчёта используются и в задачах по вероятности.
Что именно обозначают вершины и ветви дерева выбора?
Вершина — это точка, обозначающая начало задачи или результат уже сделанного выбора. Ветвь показывает один вариант очередного выбора, который ведёт к следующей вершине.
Почему нужно продолжать каждую ветвь до конечного результата?
Каждый полный результат включает все выборы, указанные в условии. Если остановиться раньше, получится лишь часть результата, поэтому нужно продолжить каждую допустимую ветвь до конца.
Когда в задаче нужно складывать, а когда умножать?
Умножают, когда выборы идут последовательно и для каждого предыдущего варианта есть одинаковое число продолжений. Складывают, когда считают варианты в отдельных взаимоисключающих случаях.
Как не посчитать один и тот же вариант несколько раз?
Задай для ветвей понятный порядок, например перечисляй варианты по возрастанию или по названиям. Затем проверь, что каждый результат попал в одну конечную точку и нигде не повторился.
Можно ли заменить дерево выбора краткой записью или формулой?
Можно, если ты уверен, что учёл все случаи и правильно определил число продолжений. Для простой задачи подойдёт умножение или сложение, а дерево помогает увидеть, почему формула подходит.
1.8. Дерево выбора
