"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Текстовая задача описывает ситуацию, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину. Чтобы решить её, недостаточно выполнить вычисления: сначала нужно понять вопрос и связи между величинами, затем представить условие в виде математической модели и составить план действий. В конце важно проверить не только счёт, но и смысл результата: отвечает ли он на вопрос и подходят ли единицы измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание жизненной или учебной ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину и ответить на вопрос. Например, задача может рассказывать о покупке, расстоянии или количестве предметов. Это определение помогает отличить задачу от простого набора чисел: в ней есть ситуация, данные и то, что требуется узнать.
Условие задачи — сведения о ситуации и величинах, которые даны или связаны между собой. В условии могут быть указаны числа, единицы измерения и отношения между величинами. Если выделить эти сведения отдельно, легче понять, что уже известно и какие данные понадобятся для ответа.
Математическая модель задачи — запись ситуации с помощью чисел, выражений, схемы, таблицы или уравнения. Например, если от 18 предметов взяли 7, моделью будет выражение 18 − 7. Модель нужна, чтобы перевести рассказ на язык математики и ясно показать, какие связи между величинами используются.
Решение задачи — последовательность рассуждений и действий, приводящая от условия к ответу; результат нужно соотнести с вопросом задачи. Решением может быть несколько вычислений или уравнение с пояснением шагов. Это понятие напоминает, что найденное число само по себе ещё не завершает работу: нужно проверить его смысл и сформулировать ответ.
Сначала прочитай задачу целиком, не пытаясь сразу считать. Нужно понять, о какой ситуации идёт речь и что именно спрашивают, потому что одинаковые числа могут использоваться для разных вопросов. Например, по данным о цене и количестве можно искать и цену одной вещи, и стоимость нескольких вещей. Если вопрос неясен, легко выполнить верные вычисления, но получить не тот результат.
Затем отдели известные величины от неизвестных и запиши их значения вместе с единицами измерения. Полезно подчеркнуть вопрос и составить краткую запись: так данные не теряются среди слов. Это особенно помогает, когда в задаче несколько величин или упоминаются разные предметы. Схема или таблица показывают, какие данные относятся друг к другу.
После этого выясни, как величины связаны, и выбери способ описать эту связь. Если надо найти остаток, можно использовать вычитание; если известна цена нескольких одинаковых предметов, пригодятся деление и умножение. Для более сложной связи подойдут выражение, уравнение, таблица или схема. Такая запись и есть математическая модель: она должна отражать условие, а не только содержать удобные числа.
План решения выстраивай от известных величин к искомой. Если ответ нельзя найти сразу, сначала определи промежуточную величину и подумай, как она поможет на следующем шаге. Для каждого действия объясни себе, что именно оно находит и почему подходит к связи из условия. Такой порядок помогает не пропускать необходимые шаги и замечать лишние вычисления.
Выполнив вычисления, вернись к вопросу и проверь результат. Убедись, что арифметика верна, ответ соответствует ситуации, а единицы измерения не перепутаны. Иногда полезно прикинуть, разумно ли получилось число: например, остаток не должен быть больше исходного количества. Заверши решение фразой, которая прямо отвечает на вопрос задачи.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Понимание условия | Выделить данные и вопрос | Все ли величины и связи поняты |
| Математическая модель | Выбрать запись: схема, выражение, уравнение или таблица | Отражает ли запись условие задачи |
| План решения | Определить порядок действий | Нужен ли каждый шаг для ответа |
| Выполнение | Провести вычисления или решить уравнение | Верны ли вычисления и единицы |
| Проверка и ответ | Соотнести результат с вопросом | Получен ли ответ в контексте условия |
Пользуйся таблицей как последовательным маршрутом: переходи к следующему этапу, когда проверил предыдущий. Если на проверке обнаружилось несоответствие, вернись к условию или модели и найди, где потерялась связь. Такой способ помогает не ограничиваться подсчётом и доводить решение до понятного ответа.
В коробке было 18 карандашей. Взяли 7. Сколько карандашей осталось? Нужно найти остаток, поэтому сначала определяем начальное количество и то, насколько оно уменьшилось. Значения относятся к одной и той же величине — количеству карандашей.
Запишем данные: было 18 карандашей, взяли 7 карандашей. Искомое — количество оставшихся карандашей. Поскольку часть предметов забрали, остаток меньше начального количества.
Чтобы найти остаток, вычтем взятое количество из начального: 18 − 7 = 11. Проверим смысл: 11 меньше 18, как и должно быть после того, как часть карандашей взяли. Кроме того, 11 + 7 = 18, значит, начальное количество восстанавливается.
Ответ: осталось 11 карандашей.
За 3 одинаковые тетради заплатили 240 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Сначала нужно узнать цену одной тетради, потому что общая стоимость трёх не даёт сразу стоимость пяти. Тетради одинаковые, поэтому цена каждой одна и та же.
Найдём цену одной тетради: 240 : 3 = 80 рублей. Деление подходит, потому что общую стоимость трёх одинаковых тетрадей нужно разделить поровну. Значит, одна тетрадь стоит 80 рублей.
Теперь найдём стоимость пяти тетрадей: 80 × 5 = 400 рублей. Умножаем цену одной тетради на количество, так как складываем пять одинаковых стоимостей. Проверка обратным ходом: 400 : 5 = 80 рублей за тетрадь.
Ответ: 5 тетрадей стоят 400 рублей.
В двух коробках 54 детали. В первой деталей в 2 раза больше, чем во второй. Сколько деталей в каждой коробке? Количество в первой коробке связано с количеством во второй, поэтому удобно обозначить неизвестное буквой. Если обозначить количество во второй коробке через x, то в первой будет 2x.
Составим уравнение по общему количеству деталей: x + 2x = 54. Складываем количества в двух коробках, потому что вместе в них 54 детали. В левой части уравнения выражено то же общее количество.
Сложим подобные слагаемые: 3x = 54, значит, x = 54 : 3 = 18. Это количество деталей во второй коробке. В первой коробке вдвое больше: 2 × 18 = 36.
Проверим оба условия: 18 + 36 = 54, а 36 в 2 раза больше 18. Значит, найденные количества подходят и по общей сумме, и по отношению между коробками. Неизвестные величины определены верно.
Ответ: в первой коробке 36 деталей, во второй — 18 деталей.
Начинать вычисления, не выяснив, что именно требуется найти, — значит рисковать ответить не на тот вопрос. Так бывает, когда ученик замечает знакомые числа и сразу выбирает действие. Перед решением сформулируй искомую величину своими словами и после вычислений сравни её с вопросом. Если полученное число отвечает на другой вопрос, решение нужно пересмотреть.
Выбирать действие только по отдельному слову из условия ненадёжно: одно и то же слово в разных ситуациях может обозначать разные отношения величин. Например, слово «больше» может говорить о сравнении или о том, во сколько раз одна величина больше другой. Ошибку допускают, когда не разбирают смысл всей ситуации. Проверь себя: объясни, какую связь выражает выбранное действие, и соотнеси её с данными.
Если пропустить промежуточный шаг в составной задаче, теряется связь между известными данными и искомым. Часто хочется сократить решение, но тогда становится непонятно, откуда взялось число или зачем оно нужно. Для проверки подпиши, что находит каждый результат, и проследи путь от условия к ответу. Если один шаг не помогает получить следующий, проверь план решения.
Число без единицы измерения или пояснения в ответе может быть неполным и неверно понятым. Например, 80 может означать рубли, предметы или метры — из одного числа это неясно. Ошибку легко допустить, если записывать только вычисления. Проверь ответ: в нём должны быть названы искомая величина и подходящая единица измерения.
Для решения задач нужны навыки арифметических действий и соблюдение порядка действий: без них нельзя надёжно выполнить вычисления по выбранному плану. Краткая запись и схема помогают преобразовать текст в наглядное представление данных. Поэтому полезно уметь находить в условии величины, отмечать их единицы и показывать отношения между ними.
Умение составлять математическую модель пригодится при изучении уравнений, отношений и величин. В задачах с неизвестным удобно обозначать его буквой и записывать связь уравнением; в других случаях помогают вычисления или таблицы. Те же навыки нужны в бытовых ситуациях — например, при расчёте стоимости покупок или сравнении количеств.
С чего начать решение текстовой задачи?
Прочитай условие целиком и выясни, о какой ситуации говорится. Затем найди вопрос задачи, выпиши известные данные и отметь, что требуется узнать.
Как понять, какое действие нужно выполнить?
Определи, как связаны величины: например, нужно ли найти остаток, общую стоимость или количество в каждой группе. Выбирай действие по этой связи, а не только по отдельному слову в условии.
Зачем составлять краткую запись или схему?
Краткая запись помогает увидеть известные и неизвестные величины и отношения между ними. По схеме легче выбрать действия и не потерять данные в составной задаче.
Когда задачу удобно решать с помощью уравнения?
Уравнение удобно, если неизвестную величину можно обозначить буквой, а остальные величины выразить через неё. Так часто решают задачи, где несколько неизвестных связаны между собой и известна их сумма.
Как проверить, что ответ подходит к условию?
Подставь результат в связь, описанную в условии, и проверь вычисления. Затем убедись, что ответ называет именно искомую величину и содержит подходящую единицу измерения.
1.9. Решение задач
