2.15. Пересечение геометрических фигур

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек. Если говорят, что точка принадлежит фигуре, значит, она входит в это множество, а не просто расположена рядом с ним на рисунке. Понятие принадлежности помогает проверять, какие точки относятся к фигуре.

Пересечение геометрических фигур — фигура, состоящая из точек, принадлежащих одновременно каждой из данных фигур. Например, для двух фигур нужно найти точки, которые входят и в первую, и во вторую. Такое определение позволяет точно выделить их общую часть.

Общая точка фигур — точка, которая принадлежит обеим фигурам. Все общие точки вместе образуют пересечение. Это понятие помогает перейти от сравнения фигур целиком к проверке каждой точки.

Пустое пересечение получается, если у фигур нет общих точек. Его обозначают пустым множеством: ∅. Такая запись нужна, чтобы кратко показать: ни одна точка не принадлежит одновременно всем рассматриваемым фигурам.

Как это устроено

Чтобы найти пересечение, проверяй, какие точки принадлежат каждой фигуре одновременно. Точка, которая входит только в одну фигуру, в пересечение не попадёт. Поэтому нужно отделять общую часть от всех точек, которые просто находятся внутри или на границе хотя бы одной фигуры. Пересечение не следует путать с объединением: объединение охватывает точки обеих фигур, а пересечение — только общие.

Пересечение само является геометрической фигурой, потому что оно тоже представляет собой множество точек. Его вид зависит от расположения исходных фигур: общих точек может не быть, может оказаться одна точка или целая часть фигур. Поэтому нельзя заранее назначить пересечению одну определённую форму. Сначала устанавливают, какие точки входят в обе фигуры, а затем описывают полученную общую часть.

Если у фигур нет общих точек, пересечение пусто; если они есть, пересечение включает их все. Причина в самом условии: точка должна принадлежать каждой из фигур, а не только одной из них. Рисунок может помочь заметить возможную общую часть, но окончательный вывод делают по расположению и свойствам фигур. Так можно отличить отсутствие пересечения от маленькой или незаметной на схеме общей части.

Пересечение может состоять из одной точки, нескольких точек или целой фигуры, например отрезка. Так происходит потому, что разные фигуры могут совпадать в одном месте, в нескольких местах или вдоль участка. Если отрезки наложились друг на друга, их общая часть включает весь участок наложения, а не только его край. Учитывать нужно и внутренние точки фигур, и точки границы, если они принадлежат обеим фигурам.

Запись A ∩ B означает пересечение фигур A и B. Порядок букв на результат не влияет: A ∩ B = B ∩ A. Это следует из условия принадлежности: точка входит в пересечение, если принадлежит и A, и B, независимо от того, какую фигуру назвали первой. Такое обозначение удобно, когда нужно кратко записать общую часть.

Как выглядит пересечение фигур

Сначала найди в таблице строку, которая соответствует расположению данных фигур. Затем проверь объяснение: оно показывает, почему именно такая общая часть получается. Если ситуация не совпадает с примером дословно, рассуждай по определению и учитывай все точки, принадлежащие обеим фигурам.

Разбор задач

Задача 1. Даны отрезки AB и CD, которые пересекаются в точке P. Укажите их пересечение. Нужно выяснить, есть ли у отрезков ещё общие точки. Поскольку сказано, что они пересекаются в одной точке, именно она принадлежит обоим отрезкам.

1. Рассматриваем отрезок AB и отмечаем его точки.
2. Рассматриваем точки отрезка CD и сравниваем их с точками AB.
3. Общей для двух отрезков оказывается только P, поэтому других точек в пересечение включать не нужно.

Ответ: AB ∩ CD = {P}. Фигурой-пересечением является точка P.

Задача 2. На одной прямой отмечены отрезки AB и CD, причём они частично накладываются. Определите их пересечение. Важно найти весь участок, который принадлежит обоим отрезкам, а не только точку, где начинается наложение. Чтобы указать этот участок, сначала определим его концы.

1. Расположим концы отрезков на прямой в том порядке, в каком они следуют.
2. Из двух левых концов выберем тот, что расположен правее: он начинает общую часть.
3. Из двух правых концов выберем тот, что расположен левее: он завершает общую часть.
4. Запишем отрезок между выбранными концами, включив их в пересечение.

Ответ: пересечение — общий отрезок между ближайшими внутренними концами наложившихся отрезков. Без указания положения букв на прямой его концы нельзя назвать именами, поэтому их определяют по рисунку или условию. Пересечение содержит все точки между этими концами.

Задача 3. Квадрат расположен внутри круга. Определите пересечение квадрата и круга; затем рассмотрите случай, когда они не имеют общих точек. В первом случае нужно проверить, принадлежит ли кругу каждая точка квадрата. Во втором — выяснить, есть ли хотя бы одна точка, принадлежащая обеим фигурам.

1. Если квадрат целиком расположен внутри круга, все точки квадрата принадлежат и квадрату, и кругу.
2. Точки круга вне квадрата не подходят, поскольку не принадлежат квадрату.
3. Если квадрат и круг не имеют общих точек, ни одна точка не удовлетворяет условию пересечения.

Ответ: в первом случае пересечение — квадрат; во втором — пустое множество ∅. Вывод получается из проверки принадлежности, а не только из названий фигур. Важно, чтобы квадрат действительно целиком находился внутри круга, как сказано в условии.

Типичные ошибки

Пересечением называют всю область, покрываемую фигурами вместе. Так происходит, когда пересечение путают с объединением: на рисунке заметны обе фигуры, и хочется включить их целиком. Проверь каждую выбранную точку: для пересечения она должна принадлежать всем фигурам, а не только одной.

Для отрезков, наложенных на одной прямой, указывают только точку начала наложения. Эту точку принимают за единственное место встречи, хотя дальше отрезки тоже имеют общие точки. Проверь границы общего участка и включи все точки между ними: результатом будет отрезок.

Считают, что пересечение обязательно состоит из одной точки. Такое ожидание возникает из привычного примера с пересекающимися линиями, но фигуры могут совпасть на целом участке или не иметь общих точек вовсе. Для проверки перечисли возможные общие точки или определи общую часть целиком, не выбирая форму заранее.

Пересечение определяют только по рисунку и не проверяют принадлежность точек обеим фигурам. Схема бывает неточной: расстояния и положение объектов на ней могут быть показаны условно. Сверь изображение с условием и для каждой предполагаемой общей точки проверь, входит ли она в обе фигуры.

Связь с другими темами

Для работы с пересечением нужно уметь распознавать геометрические фигуры и определять, принадлежит ли им точка. Эти навыки помогают не ошибиться при выделении общей части. Если точка не входит хотя бы в одну фигуру, пересечению она не принадлежит.

Тема опирается на понятия множества и общей части объектов. Фигуру можно представить как множество точек, а пересечение — как множество точек, общих для всех рассматриваемых фигур. Такой взгляд объясняет и обозначение ∩, и возможность пустого пересечения.

Понятие пересечения пригодится при изучении множеств, геометрических построений и задач на взаимное расположение фигур. Оно помогает описывать, что общего у объектов, и проверять, возможна ли общая точка при заданных условиях. Эти же рассуждения полезны, когда нужно найти общую часть сложных фигур.

Что запомнить

• Пересечение состоит из точек, принадлежащих всем рассматриваемым фигурам.
• Общие точки фигур образуют их пересечение.
• Пересечение обозначают знаком ∩.
• Пересечение может быть точкой, несколькими точками или целой фигурой.
• Если общих точек нет, пересечение пусто.
• A ∩ B = B ∩ A.