"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Множество — это совокупность объектов, объединённых по некоторому признаку. Чтобы показать, какие объекты в него входят, множество задают перечислением, описанием общего свойства или правилом получения элементов. Нужно уметь проверять принадлежность объекта множеству и понимать, что порядок записи и повторение элементов не изменяют его состава. Для бесконечных множеств используют многоточие, если продолжение записи однозначно понятно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, рассматриваемая как единое целое. Объекты, входящие в множество, называют его элементами. Такое понятие помогает объединять числа, буквы или другие объекты и работать с ними по общему признаку.
Элемент множества — объект, принадлежащий данному множеству. Принадлежность обозначают знаком ∈: запись а ∈ А читают «а принадлежит множеству А». Если объект не входит в множество, пишут а ∉ А; эти знаки позволяют коротко записывать результат проверки.
Способ задания множества — описание, по которому можно определить, какие объекты входят в множество. Это может быть список элементов, условие или правило их получения. Выбор способа зависит от того, конечное множество или бесконечное и насколько удобно перечислять его элементы.
Характеристическое свойство — условие, которому удовлетворяют все элементы множества и только они. Например, для множества чётных натуральных чисел таким свойством будет «число делится на 2». По этому условию можно проверить любой предложенный объект и решить, принадлежит ли он множеству.
При задании множества перечислением его элементы записывают в фигурных скобках: {2, 4, 6}. Каждый объект указывают только один раз, потому что множество показывает состав, а не число повторений. Порядок также не важен: {2, 4, 6} и {6, 2, 4} содержат одинаковые элементы и задают одно множество.
Множество можно задать описанием общего свойства элементов. Например, фраза «натуральные числа, меньшие 5» сразу задаёт числа 1, 2, 3 и 4, если натуральный ряд начинают с 1. Чтобы проверить объект, подставляют его в условие: 7 не подходит, потому что 7 не меньше 5.
Если элементы образуют последовательность, удобнее указать правило их получения. Запись 3, 6, 9, 12, … показывает, что каждый следующий элемент получается прибавлением 3, поэтому множество включает числа, кратные 3. Такое правило позволяет понять состав множества, даже если все элементы перечислить невозможно.
Одно множество можно представить несколькими способами, если записи дают один и тот же состав. Например, {1, 2, 3, 4} и «натуральные числа, меньшие 5» совпадают. Для проверки сравнивают обе стороны: каждый элемент первой записи должен удовлетворять условию, а каждый объект, подходящий под условие, должен быть в списке.
У бесконечного множества нельзя закончить полный список, поэтому используют многоточие. Оно допустимо, когда закономерность продолжения понятна однозначно: 1, 3, 5, 7, … — нечётные натуральные числа. Если по началу можно придумать разные продолжения, одной записи с многоточием недостаточно, и правило нужно сформулировать словами.
| Способ | Как записывают | Когда удобно применять | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Перечисление элементов | Элементы записывают в фигурных скобках: {1, 2, 3} | Для небольшого конечного множества | Не повторять элементы и не считать порядок важным |
| Описание общего свойства | Указывают условие, которому удовлетворяют элементы | Когда элементов много или их удобно объединить признаком | Условие должны выполнять все и только нужные элементы |
| Правило получения элементов | Показывают начало последовательности и закономерность | Для последовательностей и бесконечных множеств | Правило продолжения должно быть однозначным |
Сначала определите, какие объекты входят в множество и можно ли перечислить их полностью. Затем выберите самый понятный способ записи. Для проверки другой записи сравните состав множеств или проверьте, выполняется ли условие для каждого элемента.
Нужно записать множество букв слова «мама» перечислением и проверить, принадлежит ли ему буква а. В слове встречаются буквы м, а, м, а, но повторения не создают новые элементы. Поэтому в записи оставляем только разные буквы.
Ответ: A = {м, а}; а ∈ A. Повторные буквы слова не нужно повторять в записи множества.
Зададим двумя способами множество натуральных чисел, меньших 6. Сначала перечислим все подходящие натуральные числа по порядку. Затем заменим список условием, которое выполняют ровно эти числа.
Ответ: A = {1, 2, 3, 4, 5}; то же множество задаётся условием «натуральные числа, меньшие 6». Обе записи имеют одинаковый состав.
Дано множество чисел 2, 4, 6, 8, … и нужно определить, входит ли в него число 14. Разность соседних чисел равна 2, поэтому последовательность состоит из положительных чётных чисел. Проверим, подходит ли 14 под это правило.
Ответ: правило задания — «положительные чётные числа»; 14 ∈ A. Многоточие понятно, потому что правило продолжения однозначно.
Повторять одинаковые элементы. Ошибка возникает, когда считают каждое появление объекта отдельным элементом. Уберите повторы и проверьте, изменился ли состав: если нет, запись стала правильнее.
Считать порядок элементов важным. Иногда порядок воспринимают как часть записи последовательности, хотя для обычного множества он роли не играет. Сравните два списка по составу: если каждый элемент одного есть в другом, множества одинаковы.
Неверно понимать свойство. Можно включить объект, который не подходит под условие, или пропустить подходящий. Проверяйте каждый спорный объект подстановкой в условие и отдельно ищите возможные пропуски.
Продолжать запись по неясной закономерности. По нескольким первым элементам иногда можно придумать разные правила. Если продолжение не очевидно, не ставьте многоточие без пояснения, а запишите точное свойство или правило.
До изучения способов задания множеств нужно уметь читать буквенные и числовые обозначения, понимать условия и сравнивать объекты по признаку. Эти навыки помогают точно определить, подходит ли объект под характеристическое свойство.
Позже множества понадобятся при работе с числовыми множествами, уравнениями и неравенствами. Знание способов задания также необходимо для операций над множествами: объединения, пересечения и определения общих элементов.
Как понять, принадлежит ли объект множеству?
Нужно проверить, назван ли объект среди элементов множества или удовлетворяет ли он заданному условию. Если да, записывают a ∈ A, если нет — a ∉ A.
Почему в записи множества не нужно повторять одинаковые элементы?
Множество учитывает, входит объект в состав или нет, а не количество его повторений. Поэтому записи {а, м, а} и {а, м} задают одно и то же множество.
Меняется ли множество, если переставить элементы местами?
Нет, порядок элементов не важен. Например, {1, 2, 3} и {3, 1, 2} содержат одни и те же элементы и задают одинаковое множество.
Как задать множество, если его элементы нельзя перечислить все?
Можно описать общее свойство элементов или указать правило их получения. Так задают, например, множество всех натуральных чисел или последовательность чётных чисел.
Когда многоточие в записи множества можно считать понятным?
Только когда по записанным элементам однозначно видно, как продолжить ряд. Если возможны разные правила продолжения, нужно сформулировать свойство или правило явно.
2.17. Способы задания множеств
