2.16. Группа предметов. Множество. Элемент множества

Определения и обозначения

Группа предметов — несколько предметов, объединённых по общему признаку. Признак должен быть понятен: по нему можно решить, подходит ли каждый объект. Например, карандаш и тетрадь можно объединить как школьные принадлежности. Без ясного правила состав группы определить трудно.

Множество — совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое. Так можно описать группу предметов, если известно, каким признаком они объединены. Например, все школьные принадлежности в наборе образуют множество. Это понятие помогает говорить сразу обо всей совокупности, а не перечислять предметы каждый раз.

Элемент множества — отдельный объект, который входит в данное множество. Если множество состоит из карандаша, ручки и линейки, каждый из этих предметов — его элемент. Различие между целым множеством и одним элементом нужно, чтобы точно описывать состав совокупности. Один предмет не следует называть всем множеством.

Принадлежность множеству — отношение, показывающее, входит ли объект в это множество. Знак ∈ означает «принадлежит», а знак ∉ — «не принадлежит». Если A — множество школьных принадлежностей, то запись «ручка ∈ A» верна, а «яблоко ∉ A» — тоже верна. Слева от знака ставят объект, справа — множество.

Как это устроено

Чтобы выделить группу из окружающих объектов, сначала выбирают общий признак. Он нужен как правило отбора: тогда можно проверить каждый предмет и решить, включать ли его в группу. Например, среди книги, ручки, чашки и линейки признак «предметы для учёбы» помогает выбрать книгу, ручку и линейку. Если признак сформулирован расплывчато, разные люди могут получить разные группы, поэтому правило должно быть ясным.

Когда группу рассматривают как единое целое, её называют множеством. Это удобно, потому что можно рассуждать о всей совокупности сразу, например сравнивать множества или говорить об их составе. При этом отдельные предметы не исчезают: каждый из них остаётся элементом множества. Так понятия «множество» и «группа предметов» связаны, но множество подчёркивает, что мы рассматриваем группу как один объект рассуждения.

Проверить принадлежность можно, сопоставив объект с признаком множества. Если множество задано как «предметы, которыми пишут», нужно выяснить, используют ли проверяемый предмет для письма. Карандаш подходит под условие, а линейка — нет, поэтому первый принадлежит множеству, а вторая не принадлежит. Такая проверка надёжнее, чем решение по внешнему сходству: два похожих предмета могут иметь разные свойства, важные для заданного условия.

Небольшое множество можно задать перечислением всех его элементов, обычно заключая их в фигурные скобки. Например, множество дней выходных в обычной пятидневной рабочей неделе можно записать так: {суббота, воскресенье}. Этот способ удобен, когда элементов немного и их легко назвать без пропусков. Перечисление сразу показывает состав множества, но для очень больших наборов оно становится длинным.

Если элементов слишком много или их невозможно перечислить, множество описывают общим признаком. Например, вместо записи всех чётных натуральных чисел можно сказать: «множество натуральных чисел, делящихся на 2 без остатка». По этому условию можно проверить любое предложенное число, даже если его нет в готовом списке. Описание признаком также удобно для бесконечных множеств, элементы которых продолжаются без конца.

Способы задания множества

Сначала выясните, каким способом задано множество: списком или условием. Затем либо найдите объект в списке, либо проверьте, выполняет ли он общий признак. В ответе используйте ∈, если объект входит в множество, и ∉, если не входит.

Разбор задач

Задача 1. В наборе лежат книга, ручка, пенал, яблоко и линейка. Выделите множество школьных принадлежностей и назовите его элементы. Здесь нужно не выбирать предметы наугад, а применить общий признак: предмет используют для учёбы. Каждый объект проверим отдельно.

1. Выберем признак: «предмет относится к школьным принадлежностям».
2. Проверим книгу, ручку, пенал и линейку: все они могут использоваться в школе для учёбы.
3. Яблоко этому признаку не соответствует, поэтому в множество его не включаем.

Ответ: множество школьных принадлежностей состоит из книги, ручки, пенала и линейки. Проверка каждого предмета нужна, чтобы не пропустить подходящий элемент и не включить неподходящий.

Задача 2. Пусть A = {красный, синий, зелёный}. Перечислите элементы A и запишите, принадлежат ли ему предложенные объекты: синий, жёлтый и красный. Список в фигурных скобках уже задаёт множество полностью. Поэтому достаточно сопоставить каждый цвет с перечисленными элементами.

1. Элементы множества A — красный, синий и зелёный.
2. Синий есть в списке, значит, синий ∈ A.
3. Жёлтого в списке нет, значит, жёлтый ∉ A; красный есть, значит, красный ∈ A.

Ответ: A = {красный, синий, зелёный}; синий ∈ A, жёлтый ∉ A, красный ∈ A. Отсутствие объекта в этом полном перечислении означает, что он не является элементом данного множества.

Задача 3. Задайте множество натуральных чисел, меньших 5, перечислением и общим признаком. Проверьте, принадлежат ли ему числа 3 и 6. Оба способа должны описывать одни и те же числа, а проверка покажет, выполняют ли числа условие.

1. Перечислим натуральные числа меньше 5: A = {1, 2, 3, 4}.
2. Опишем то же множество признаком: A — множество натуральных чисел, меньших 5.
3. Число 3 натуральное и меньше 5, поэтому 3 ∈ A. Число 6 не меньше 5, поэтому 6 ∉ A.

Ответ: A = {1, 2, 3, 4}, или множество натуральных чисел, меньших 5; 3 ∈ A, 6 ∉ A. В обоих случаях решение опирается на одно и то же условие — быть натуральным числом и быть меньше 5.

Типичные ошибки

Считать группой любые предметы без общего признака — значит не задать правило отбора. Такую группу трудно воспроизвести: непонятно, какие предметы включать и почему. Ошибка возникает, когда внимание обращают только на то, что предметы собраны вместе. Проверьте себя вопросом: «По какому признаку каждый объект оказался в этой группе?»

Путать множество с его элементом — значит принимать всю совокупность за один предмет или, наоборот, называть отдельный предмет множеством. Это случается, когда забывают, что множество объединяет объекты, а элемент — один объект внутри него. Проверьте запись: можно ли назвать в скобках несколько элементов, а затем указать один из них отдельно? Например, в {1, 2, 3} число 2 — элемент, а вся запись — множество.

Считать, что объект принадлежит множеству только потому, что похож на другие его элементы, неверно. Внешнее сходство может не совпадать с условием, по которому задано множество. Такая ошибка появляется, если условие не проверяют, а делают вывод по общему впечатлению. Чтобы проверить себя, сформулируйте признак и спросите, выполняет ли его именно этот объект.

Неверное использование ∈ и ∉ часто связано с тем, что путают объект и множество. В записи принадлежности слева указывают отдельный элемент, а справа — множество; нельзя менять их местами. Например, если A = {1, 2}, правильно записать 1 ∈ A, а не A ∈ 1. Перед ответом прочитайте запись словами: «объект принадлежит множеству».

Связь с другими темами

Чтобы выделять множества, нужно уметь сравнивать предметы и замечать их общие признаки. Это помогает выбрать точное правило и решить, какие объекты ему соответствуют. Навык пригодится при изучении числовых множеств и геометрических фигур: числа или фигуры можно объединять по заданному свойству. Он также используется в задачах на классификацию, где объекты распределяют по группам и объясняют выбор признака.

Что запомнить

• Множество объединяет объекты, рассматриваемые как единое целое.
• Общий признак помогает определить состав множества.
• Отдельный объект, входящий в множество, называется его элементом.
• Запись a ∈ A означает, что a принадлежит множеству A.
• Запись a ∉ A означает, что a не принадлежит множеству A.
• Множество можно задать перечислением элементов или общим признаком.