"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Высказывания со словами «есть», «существует» и «некоторые» сообщают, что хотя бы один объект обладает заданным свойством. Чтобы проверить такое утверждение, нужно знать, среди каких объектов ведётся поиск, и найти подходящий пример. Если его нет, утверждение о существовании ложно. Умение различать наличие и отсутствие объектов помогает доказывать и опровергать математические утверждения, а также не путать «некоторые» со словами «все» или «несколько».
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание со словом «есть» — предложение, которое утверждает наличие предмета или свойства и может быть истинным либо ложным. Например, «Есть чётное простое число» — высказывание: его можно проверить. Такое слово помогает сообщить, что среди рассматриваемых объектов найден предмет с нужным признаком.
Высказывание со словом «существует» — утверждение о том, что найден хотя бы один объект, удовлетворяющий указанному условию. Например, можно спросить, существует ли натуральное число больше 100. Эта формулировка нужна, чтобы точно выразить поиск хотя бы одного подходящего объекта.
Высказывание со словом «некоторые» — утверждение о наличии одного или нескольких объектов с заданным свойством; оно не означает, что свойство есть у всех. Например, «Некоторые числа делятся на 5» говорит о наличии подходящих чисел. Такое понимание не позволяет ошибочно переносить свойство части множества на всё множество.
Отрицание высказывания существования — утверждение, что ни один объект не удовлетворяет условию. Если сказано «Существует число с таким свойством», отрицание звучит как «Не существует числа с таким свойством». Оно нужно, когда требуется утверждать не просто отсутствие найденного примера, а отсутствие всех подходящих объектов.
Слова «есть», «существует» и «некоторые» помогают выразить наличие объектов с заданным свойством. Само по себе указание на наличие неполно: нужно понимать, о каких объектах идёт речь. Например, утверждение о чётных числах проверяют среди чисел, а не среди геометрических фигур. Если область поиска не названа, смысл высказывания может оказаться неясным.
Высказывание о существовании истинно, если достаточно привести хотя бы один подходящий пример. Например, число 8 подтверждает, что существует натуральное число, делящееся на 4: оно натуральное и делится на 4. Для доказательства ложности нельзя просто не найти пример при нескольких попытках. Нужно установить, что подходящих объектов вообще нет, иначе искомый объект мог остаться непроверенным.
В математике слово «некоторые» означает «по крайней мере один». Так принято потому, что утверждение сообщает о наличии объекта, а не о точном количестве объектов. Поэтому высказывание остаётся истинным, даже если подходящий объект всего один. И наоборот, из него нельзя заключить, что подходящих объектов много или что ими являются все объекты множества.
Перед проверкой утверждения уточняют два условия: свойство объекта и область, где его ищут. Это необходимо, потому что одно и то же требование может выполняться на одном множестве и не выполняться на другом. Например, число 4 больше 1, если искать среди натуральных чисел, но не является натуральным числом, меньшим 1. Если область поиска меняется, меняется и ответ о истинности.
Отрицание слов «существует» и «некоторые» означает, что подходящих объектов нет. Причина в том, что исходное высказывание становится истинным от одного-единственного примера, а его отрицание должно исключить каждый возможный пример. Поэтому для опровержения утверждения о существовании нужно доказать отсутствие объектов с указанным свойством. Простое отсутствие примера в нескольких проверенных случаях этого не доказывает.
В таблице собраны разные формулировки и условия их истинности. Сопоставляй не только слова, но и множество, в котором ищется объект. Для утверждений о наличии проверяй один подходящий пример, а для формулировки об отсутствии — действительно ли исключены все возможные объекты.
| Форма высказывания | Что утверждается | Когда высказывание истинно | Пример |
|---|---|---|---|
| «Есть объект с таким свойством» | Наличие хотя бы одного подходящего объекта | Если найден хотя бы один пример | Есть чётное простое число |
| «Существует объект с таким свойством» | Наличие хотя бы одного подходящего объекта | Если найден хотя бы один пример | Существует натуральное число, большее 100 |
| «Некоторые объекты обладают таким свойством» | Свойство есть хотя бы у одного объекта из рассматриваемого множества | Если найден хотя бы один подходящий объект | Некоторые натуральные числа делятся на 5 |
| «Не существует объекта с таким свойством» | Отсутствие подходящих объектов | Если ни один объект из рассматриваемого множества не подходит | Не существует натурального числа, меньшего 1 |
Задача 1. Определите, истинно ли высказывание: «Существует натуральное число, которое делится на 4». Чтобы проверить существование, достаточно найти одно число, которое одновременно натуральное и делится на 4. Перебирать все натуральные числа не нужно: один верный пример уже подтверждает утверждение.
Ответ: высказывание истинно.
Задача 2. Определите истинность высказывания: «Некоторые двузначные числа делятся на 7». Ищем объект среди двузначных чисел, поэтому пример должен иметь от 10 до 99 и делиться на 7. Если найдётся хотя бы одно такое число, слово «некоторые» делает утверждение истинным.
Ответ: высказывание истинно.
Задача 3. Сформулируйте отрицание высказывания «Существует натуральное число, квадрат которого равен 10» и определите его истинность. Сначала заменим утверждение о наличии числа утверждением об отсутствии всех таких чисел. Затем проверим, может ли квадрат натурального числа равняться 10: между 3² = 9 и 4² = 16 числа 10 нет.
Ответ: «Не существует натурального числа, квадрат которого равен 10»; это высказывание истинно.
Первая ошибка — считать, что «некоторые» обязательно означает «несколько». Так думают из-за обычного разговорного смысла слова, но в математике достаточно одного подходящего объекта. Проверь себя: если можешь привести один пример, утверждение о некоторых объектах уже подтверждено.
Вторая ошибка — заключать, что свойство, верное для некоторых объектов, верно для всех. Такое обобщение не следует из слов «некоторые» или «существует»: они говорят только о наличии хотя бы одного объекта. Чтобы проверить себя, найди точный смысл утверждения и не заменяй «некоторые» на «все».
Третья ошибка — не указывать, среди каких объектов ведётся поиск. Её допускают, когда замечают свойство, но забывают проверить принадлежность объекта нужному множеству. Перед ответом назови область поиска и проверь, что пример относится именно к ней.
Четвёртая ошибка — пытаться доказать существование перебором неподходящих примеров или объявлять утверждение ложным после нескольких неудач. Перебор не подтверждает наличие объекта, а неполная проверка не доказывает отсутствие всех объектов. Сверься с правилом: для подтверждения достаточно одного подходящего примера, для опровержения нужно исключить каждый возможный случай.
Для работы с высказываниями о существовании нужно уметь различать истинные и ложные высказывания и понимать, какое свойство приписано объекту. Эти знания помогают отделить условие задачи от примера, который его подтверждает. Позже такие формулировки понадобятся при изучении логических операций, доказательств и опровержений. Они встречаются и в задачах о числах, и в рассуждениях о геометрических объектах.
Сколько объектов подразумевает слово «некоторые»?
В математике слово «некоторые» означает «по крайней мере один». Оно может относиться и к одному объекту, и к нескольким, но не означает, что свойство есть у всех.
Чем высказывание со словом «есть» отличается от высказывания со словом «существует»?
Оба выражения обычно утверждают, что найден хотя бы один объект с заданным свойством. «Есть» чаще звучит в обычной речи, а «существует» — в более строгой математической формулировке.
Как доказать, что объект с заданным свойством существует?
Достаточно привести один объект и проверить, что он принадлежит рассматриваемому множеству и обладает нужным свойством. Такой объект называют примером, подтверждающим утверждение.
Как опровергнуть утверждение о существовании?
Нужно показать, что в рассматриваемом множестве нет ни одного подходящего объекта. Для этого проверяют все возможные случаи или используют рассуждение, которое исключает их все.
Почему важно уточнять множество, о котором говорится в высказывании?
Объект может подходить для одного множества и не подходить для другого. Поэтому истинность утверждения зависит не только от свойства, но и от того, где именно ищут объект.
2.21. Высказывания со словами есть, существует, некоторые
