"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Объединение множеств помогает собрать в одну группу все элементы, которые входят хотя бы в одно из двух множеств. Его обозначают знаком ∪: запись A ∪ B читают «объединение множеств A и B». В объединение включают и элементы, общие для обоих множеств, но каждый записывают только один раз. Это понятие используют при работе с группами объектов и диаграммами, а также в задачах, где нужно узнать, сколько объектов принадлежит хотя бы одной из нескольких групп.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объединение множеств A и B — множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Иными словами, в него собирают всё, что есть в A, в B или сразу в обоих. Такое определение нужно, когда требуется рассмотреть две группы как одну общую группу, не теряя ни одного элемента.
Для объединения используют знак ∪, а запись A ∪ B читают «объединение множеств A и B». Знак помогает коротко обозначить множество, полученное из двух исходных. Например, вместо длинного описания группы можно записать A ∪ B, если понятно, какие множества обозначены буквами.
Элемент объединения — это элемент, который принадлежит A, B или обоим множествам. Условие записывают так: x ∈ A ∪ B тогда и только тогда, когда x ∈ A или x ∈ B. Эта запись нужна, чтобы проверить принадлежность: достаточно установить, что элемент есть хотя бы в одном исходном множестве.
Непересекающиеся множества — множества, у которых нет общих элементов. Их объединение содержит элементы каждого из них, причём совпадений между элементами нет. Это понятие помогает понять простой случай объединения: все элементы можно собрать вместе, не проверяя, не встречается ли один и тот же элемент дважды.
Чтобы получить объединение, просматривают элементы обоих множеств и включают каждый, который встретился хотя бы в одном из них. Так сохраняется условие определения: ничего из A и B не пропадает, но посторонние элементы не добавляются. Удобно сначала выписать элементы одного множества, а затем проверить, какие новые элементы нужно добавить из второго.
В условии принадлежности используется слово «или»: x ∈ A или x ∈ B. Здесь оно не означает, что верно только одно из двух утверждений. Если элемент есть сразу в обоих множествах, он всё равно удовлетворяет условию и входит в объединение. Именно поэтому объединение включает не только отдельные части A и B, но и их общие элементы.
Общий элемент в записи объединения оставляют один раз, потому что множество — это набор различных элементов. Если элемент есть и в A, и в B, его присутствие в двух исходных списках не превращает его в два разных элемента. Проверка на повторы помогает получить правильную запись и не завысить число элементов.
На диаграмме Эйлера — Венна множества изображают кругами, а объединению соответствует вся область, занятая обоими кругами. В неё входят части кругов, не пересекающиеся друг с другом, и общая часть. Такая диаграмма наглядно показывает, почему нельзя исключать пересечение: круги вместе охватывают и его.
Для конечных множеств при подсчёте элементов объединения сначала складывают количество элементов A и B. При таком сложении каждый общий элемент учитывается дважды — по одному разу в каждом множестве, поэтому число общих элементов нужно вычесть один раз. Получается правило: число элементов объединения равно сумме чисел элементов множеств минус число их общих элементов.
| Положение элемента | Принадлежность множествам | Принадлежность объединению A ∪ B |
|---|---|---|
| Элемент входит только в A | x ∈ A, x ∉ B | x ∈ A ∪ B |
| Элемент входит только в B | x ∉ A, x ∈ B | x ∈ A ∪ B |
| Элемент входит и в A, и в B | x ∈ A, x ∈ B | x ∈ A ∪ B |
| Элемент не входит ни в A, ни в B | x ∉ A, x ∉ B | x ∉ A ∪ B |
Чтобы воспользоваться таблицей, проверь, входит ли элемент в A и в B, а затем найди подходящую строку. Если он находится хотя бы в одном множестве, он принадлежит объединению. Если он не входит ни в одно из них, в объединение его включать нельзя.
Даны A = {1, 2, 4} и B = {2, 3}. Нужно записать A ∪ B. Важно собрать элементы обоих множеств, но не повторить число 2, которое встречается в каждом из них.
Получили A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. В объединение вошли все числа из исходных множеств, а общий элемент 2 записан один раз. Значит, результат содержит ровно те элементы, которые есть хотя бы в одном из A и B.
Даны A = {a, b, c} и B = {c, d, e}. Требуется найти A ∪ B и определить число его элементов. Буквы c в обоих множествах обозначают один и тот же элемент, поэтому в итоговом множестве он не должен повториться.
Ответ: A ∪ B = {a, b, c, d, e}, число элементов объединения равно 5. Проверить результат можно по перечню: каждая буква из A и B присутствует, а c встречается один раз. Если бы записать её дважды, получилось бы не множество без повторений, а ошибочная запись.
В классе 14 учеников посещают кружок шахмат, 11 — кружок робототехники, а 5 посещают оба кружка. Нужно узнать, сколько учеников посещают хотя бы один кружок. Сложение 14 и 11 посчитало бы пять учеников дважды, поскольку каждый из них входит в обе группы.
Ответ: хотя бы один кружок посещают 20 учеников. Вычитать нужно именно число общих участников, а не число участников одного из кружков. Такое правило работает потому, что при сложении размеров двух групп общая часть учитывается дважды.
Записывать общий элемент дважды — значит переносить элементы из каждого множества отдельно и не проверять повторы. Так делают, потому что элемент действительно встречается в двух списках. Сверь итоговую запись с исходными множествами: одинаковый элемент должен быть указан только один раз.
Понимать «A или B» как принадлежность ровно одному множеству — значит исключать общие элементы. Ошибка возникает из-за привычного понимания слова «или» как выбора только одного варианта. Проверь условие: элемент, который входит и в A, и в B, принадлежит хотя бы одному множеству, следовательно, входит в объединение.
Включать элемент, которого нет ни в A, ни в B, нельзя: объединение не добавляет новых элементов. Иногда такой элемент попадает в ответ случайно, если при переписывании список дополняют без проверки. Для самопроверки убедись, что каждый элемент ответа можно найти хотя бы в одном исходном множестве.
Просто складывать количества элементов множеств при наличии общих элементов — значит считать их дважды. Такое случается, когда забывают, что одни и те же объекты входят в обе группы. Найди общие элементы и вычти их число из суммы; затем проверь, что каждый объект учтён ровно один раз.
Для работы с объединением нужно знать, что такое множество, его элемент и принадлежность элемента множеству. Тогда можно проверять, попадает ли элемент в одну из исходных групп. Понятие пересечения описывает общую часть множеств и помогает находить число элементов объединения без повторного счёта.
Объединение используют при чтении диаграмм и классификации объектов по нескольким признакам. Оно также помогает решать задачи о том, сколько объектов находится хотя бы в одной из групп. Если группы имеют общие элементы, их нужно учитывать при подсчёте только один раз.
Что означает запись A ∪ B?
Это объединение множеств A и B — множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из них. В него входят элементы только из A, только из B и из обоих множеств.
Входит ли общий элемент множеств в их объединение?
Да, общий элемент принадлежит и A, и B, поэтому он входит в A ∪ B. В объединении его записывают один раз.
Почему элемент, встречающийся в обоих множествах, записывают один раз?
Множество состоит из различных элементов, поэтому повторения в записи не учитывают. Один и тот же элемент остаётся одним элементом, даже если он есть в обоих исходных множествах.
Может ли элемент объединения не принадлежать ни одному из исходных множеств?
Нет. В объединение попадают только элементы, принадлежащие A или B, поэтому элемент, не входящий ни в одно из них, не входит и в A ∪ B.
Как найти число элементов объединения, если множества имеют общие элементы?
Сложи числа элементов двух множеств, а затем вычти число их общих элементов. Иначе общие элементы будут посчитаны дважды.
2.22. Объединение множеств
