2.23. Решение задач

Определения и обозначения

Условие задачи — какие данные известны и какие связи между ними заданы. Иначе говоря, это всё, что сообщается до вопроса: числа, величины и отношения между ними. Условие нужно внимательно разобрать, чтобы использовать данные правильно и не придумать лишних сведений.

Требование задачи — что именно нужно найти или доказать. Оно часто сформулировано вопросом в конце, но иногда задача просит установить, возможно ли что-то, или сравнить величины. Ясное понимание требования помогает выбрать нужный результат и не подменить вопрос другим.

Математическая модель задачи — запись условия с помощью схемы, выражения, уравнения или таблицы. Такая запись сохраняет отношения между величинами, но делает их более наглядными и удобными для вычислений. Модель нужна, чтобы перейти от слов к математическим действиям и проверить, правильно ли понято условие.

Решение задачи — последовательность обоснованных действий, приводящих к ответу на требование. Каждое действие опирается на данные и связи из условия, а не выбирается наугад. Пояснения к шагам помогают увидеть, что именно найдено и почему этот результат приближает к ответу.

Как это устроено

При первом чтении не спеши считать: сначала выясни, о каких величинах говорится и что спрашивают. Известные числа можно выписать или подчеркнуть, а вопрос сформулировать своими словами. Затем найди слова и отношения, которые связывают величины: например, «всего», «осталось», «на сколько больше» или «в несколько раз». Такой разбор нужен потому, что одно и то же число может описывать разные вещи, а действие зависит от связи, а не от самого числа.

После разбора полезно обозначить неизвестное и перевести условие в математическую запись. Буква помогает говорить о величине, значение которой пока неизвестно, а схема или таблица показывает, как части соотносятся друг с другом. Выражение удобно, когда связь сразу приводит к вычислению; уравнение — когда неизвестное участвует в равенстве. Модель снижает риск потерять часть условия и позволяет увидеть, каких данных не хватает.

Способ решения выбирают по тому, что показывает модель. Если известны одинаковые группы и число предметов в каждой, можно умножить; если нужно найти неизвестную часть целого, может подойти вычитание. Когда связь между известными и неизвестными величинами выражается равенством, составляют уравнение. Схема помогает, если отношения проще сначала увидеть, чем записать формулой: она делает шаги рассуждения понятными.

Вычисления и преобразования выполняй последовательно, не переставляя шаги без причины. После каждого шага называй величину, которую нашёл: например, число предметов в нескольких группах или время движения на участке. Это помогает заметить, если промежуточный результат не относится к вопросу. Пояснение также показывает, как именно использовано условие, поэтому решение можно проверить не только по итоговому числу.

В конце подставь найденное значение в модель: равенство должно выполняться, а данные — сохранять заданные отношения. Затем проверь ответ по исходному тексту: возможен ли такой результат и действительно ли он отвечает на вопрос. В задачах с величинами проверь единицы измерения, а в задачах на сравнение — правильно ли определено, что с чем сравнивают. Такая проверка помогает обнаружить и вычислительную ошибку, и неверно составленную модель.

Этапы решения текстовой задачи

Пользуйся таблицей как маршрутом: переходи к следующему этапу, когда можешь ответить на вопрос самопроверки. Если на каком-то шаге ответ неясен, вернись к условию или модели. Так проще найти место затруднения, не начиная решение заново.

Разбор задач

Задача 1. В одной коробке 8 карандашей. Сколько карандашей в 3 таких коробках? Здесь известен состав одной коробки и число одинаковых коробок. Нужно найти общее количество карандашей, поэтому связь между числом групп и размером каждой группы задаётся умножением.

1. В одной коробке 8 карандашей, значит число предметов в каждой группе равно 8. Коробок три, и в каждой столько же карандашей.
2. Составим модель: 8 · 3 = 24. Умножение на число коробок учитывает одинаковые группы и даёт общее число предметов.
3. Проверим вопрос и единицы: найдено количество карандашей во всех коробках. Число 24 подходит, потому что каждая из трёх коробок содержит по 8 карандашей.

Ответ: 24 карандаша.

Задача 2. В двух корзинах 34 яблока. В первой на 6 яблок больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине? Неизвестно количество в каждой корзине, но условие позволяет выразить одно через другое. Обозначим буквой x число яблок во второй корзине; тогда в первой x + 6.

1. Общее количество равно сумме яблок в двух корзинах. Поэтому составляем уравнение x + (x + 6) = 34, где x обозначает количество во второй корзине.
2. Приведём подобные слагаемые: 2x + 6 = 34, затем 2x = 28 и x = 14. Значит, во второй корзине 14 яблок, а в первой 14 + 6 = 20.
3. Проверим результат: 14 + 20 = 34, а 20 на 6 больше 14. Обе связи из условия выполняются.

Ответ: в первой корзине 20 яблок, во второй — 14.

Задача 3. Велосипедист проехал 36 км со скоростью 12 км/ч, а затем ещё некоторое расстояние со скоростью 15 км/ч. На весь путь он затратил 5 часов. Какое расстояние он проехал на втором участке? Для первого участка время можно найти по расстоянию и скорости: 36 : 12 = 3 часа. На второй участок осталось 5 − 3 = 2 часа, поэтому расстояние связано со скоростью и временем.

1. Обозначим расстояние второго участка через x км. Время на нём равно x : 15 часов, а на первом участке велосипедист ехал 3 часа.
2. Составим уравнение по общему времени: 3 + x : 15 = 5. Тогда x : 15 = 2, откуда x = 2 · 15 = 30.
3. Проверим: на втором участке 30 : 15 = 2 часа, а всего 3 + 2 = 5 часов. Значение отвечает на вопрос и согласуется с условием.

Ответ: 30 км.

Типичные ошибки

Начинать вычисления, не выяснив, что требуется найти. Так можно решить похожий вопрос, например найти часть величины вместо целого. Ошибку допускают, когда цепляются за первые числа и сразу выбирают действие. Перед вычислениями сформулируй требование своими словами и в конце сравни с ним ответ.

Путать «на … больше» и «в … раз больше». Первое выражает разность и обычно связано со сложением или вычитанием, второе — отношение и связано с умножением или делением. Путаница возникает из-за похожего звучания выражений. Проверь запись на простом примере: «на 6 больше» означает прибавить 6, а «в 6 раз больше» — умножить на 6.

Составлять уравнение, в котором величины не соответствуют условию. Например, буквой обозначено одно количество, а в выражении она используется как другое. Такое случается, если записывать равенство по словам, не уточнив смысл частей. Подпиши, что означает неизвестное, и проверь отдельно, что выражает каждое слагаемое и вся левая часть уравнения.

Записывать число без проверки и единиц измерения. Число может быть вычислено верно, но не подходить к условию или не отвечать на вопрос. Эту ошибку легко допустить, если закончить работу сразу после вычислений. Подставь результат в модель, проверь его смысл и запиши единицы: например, километры, часы или яблоки.

Связь с другими темами

Решать текстовые задачи помогают умения читать условие, выполнять арифметические действия и находить связи между величинами. Для записи модели используются схемы, таблицы и уравнения, которые встречаются и в других разделах математики. Один и тот же способ рассуждения пригодится в задачах на движение, покупки и совместную работу. Меняются величины, но остаётся общий порядок: разобрать условие, построить модель и проверить ответ.

Что запомнить

• Сначала выясни, что известно и что требуется найти.
• Неизвестное удобно обозначить буквой.
• Модель должна сохранять связи, заданные условием.
• Выбирай способ решения после разбора условия.
• Поясняй смысл вычислений или преобразований.
• Проверь, подходит ли результат условию и отвечает ли на вопрос.