"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Решение задачи — это путь от известных данных к ответу на поставленный вопрос. Чтобы пройти его без ошибок, нужно понять, какие величины связаны в условии, и представить эти связи в виде краткой записи, схемы, выражения или уравнения. Затем выбирают подходящий способ вычислений и проверяют результат: он должен соответствовать ситуации, иметь подходящие единицы измерения и отвечать именно на вопрос задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Задача — описание ситуации с известными и неизвестными величинами, связями между ними и вопросом, на который нужно ответить. Величинами могут быть, например, количество предметов, время или расстояние. Это определение помогает увидеть, что задачу нельзя свести к набору чисел: нужно понять, как числа относятся к ситуации и чего именно спрашивают.
Условие задачи — сведения о ситуации и величинах, необходимые для ответа на вопрос. В нём могут быть числа, описания отношений и дополнительные слова, которые помогают представить происходящее. Условие важно внимательно отделять от вопроса: тогда понятно, какие данные использовать и какой результат требуется получить.
Математическая модель — запись условия с помощью чисел, выражений, схемы, таблицы или уравнения. Например, фразу о том, что к одному количеству прибавили другое, можно представить суммой. Модель нужна, чтобы сделать отношения из условия наглядными и перейти от текста к вычислениям.
Проверка решения — установление того, удовлетворяет ли найденный результат условию и отвечает ли он на вопрос задачи. Для этого результат сопоставляют с данными и связями из условия, а не просто повторяют вычисление. Проверка помогает обнаружить неверное действие, ошибку в вычислениях или ответ не на тот вопрос.
Сначала прочитай задачу целиком, а затем выясни, что известно и что требуется найти. Это нужно потому, что отдельные числа сами по себе не подсказывают, какое действие выполнить: смысл появляется только в связи с вопросом и остальными величинами. Полезно назвать неизвестное словами, например: «нужно узнать, сколько предметов осталось». После этого перечитай условие и проверь, что вопрос понят и ни одна важная величина не потеряна.
Краткая запись, схема или таблица отделяют важные данные от подробностей и показывают отношения между величинами. Например, при сравнении двух количеств схема с отрезками помогает увидеть, какое из них больше и на сколько. Такой способ представления уменьшает риск перепутать величины или принять часть за целое. Выбирай вид записи по задаче: таблица удобна для нескольких связанных данных, схема — для наглядного сравнения, а краткая запись — для упорядочивания чисел и вопроса.
Способ решения зависит от связей, которые удалось найти. Если нужно узнать остаток, используют вычитание; если известна цена нескольких одинаковых предметов, сначала можно найти цену одного делением. Иногда удобно сразу составить выражение, а если есть неизвестная величина и равенство между частями условия — уравнение. Сначала реши, какие отношения описывает задача, и только потом выбирай действия: тогда каждый шаг будет иметь понятный смысл.
Порядок действий и ход решения следует обосновывать условием, а не отдельными словами «больше», «меньше» или «осталось». Одно слово может описывать разные ситуации: например, «больше» бывает сравнением двух величин или увеличением исходного количества. Поэтому нужно выяснить, что именно известно и как связаны величины, а затем объяснить, почему выбранное действие подходит. Если не получается объяснить действие словами, вернись к краткой записи или схеме и проверь, правильно ли поняты отношения.
После вычислений проверь результат по условию, а затем запиши ответ с подходящими единицами измерения. Проверка нужна не только для поиска арифметической ошибки: она помогает заметить, что найдено не то, о чём спрашивали, или что число невозможно в данной ситуации. Сопоставь ответ с данными задачи и убедись, что он отвечает на вопрос целиком. Например, если спрашивали стоимость пяти тетрадей, одного лишь числа «30» недостаточно — это цена одной тетради.
| Этап | Что выяснить или сделать | Как проверить |
|---|---|---|
| Понимание условия | Разобраться в ситуации и значении величин. | Можешь пересказать условие своими словами. |
| Выделение данных и вопроса | Отметить известные данные и определить, что нужно найти. | Вопрос сформулирован ясно, а нужные данные найдены. |
| Построение математической модели | Составить краткую запись, схему, таблицу, выражение или уравнение. | Каждое число и отношение в модели связано с условием. |
| Выполнение решения | Выбрать действия и выполнить вычисления или решить уравнение. | Каждый шаг объясняется связью из условия. |
| Проверка и запись ответа | Проверить результат и записать ответ с единицами. | Результат подходит ситуации и отвечает на вопрос. |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда можешь объяснить, что сделал на предыдущем. Если на проверке обнаружилась ошибка, вернись к тому шагу, где связь или вычисление могли быть поняты неверно. Такой порядок помогает не пропустить вопрос и обосновать решение.
Условие. В коробке было 18 карандашей, 7 раздали. Нужно узнать, сколько карандашей осталось. Здесь известны начальное количество и количество раздданных карандашей, а искомая величина — остаток.
Ответ: осталось 11 карандашей. Вычитание подходит, потому что известна величина до изменения и известна часть, которую убрали. Проверка сложением подтверждает, что начальное количество восстановлено.
Условие. За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Требуется найти стоимость 5 таких тетрадей. Поскольку тетради одинаковые, сначала можно узнать стоимость одной, а затем определить стоимость пяти.
Ответ: 5 тетрадей стоят 150 рублей. Два действия понадобились потому, что известна цена нескольких одинаковых предметов, а спрашивают цену другого их количества. Если бы умножить 90 на 5 сразу, мы бы ошибочно приняли стоимость трёх тетрадей за цену одной.
Условие. В двух коробках 46 шаров, в первой на 8 шаров больше, чем во второй. Нужно узнать, сколько шаров в каждой коробке. Одного общего количества недостаточно для ответа, поэтому выразим числа в коробках через одну неизвестную величину.
Ответ: в первой коробке 27 шаров, во второй — 19. Уравнение позволило одновременно учесть и общее количество шаров, и разницу между коробками. Проверка двумя вычислениями подтверждает, что найденные числа соответствуют обоим условиям.
Начинать вычисления, не выяснив, что требуется найти, — значит рисковать решить не тот вопрос. Это случается, когда внимание сразу привлекают числа, а вопрос читают невнимательно. Перед вычислениями сформулируй искомую величину своими словами и после решения сравни её с вопросом. Если спрашивали остаток, ответ о начальном количестве задачу не решает.
Выбирать действие только по слову «больше», «меньше» или «осталось» ненадёжно: одинаковые слова могут описывать разные отношения. Такая ошибка появляется, если не представить ситуацию и не выяснить, что именно сравнивают или изменяют. Проверь себя схемой или объяснением: что означает каждое число и почему из найденной связи следует именно это действие. Если объяснить выбор нельзя, снова прочитай условие.
Выражение или уравнение может выглядеть правильно, но не передавать условие, если его части не соотнесены с величинами. Обычно так бывает, когда числа подставляют в знакомую формулу, не проверяя смысл каждого слагаемого. Подпиши величины или объясни словами, что означает каждая часть записи. Затем сравни модель с условием: в ней должны быть отражены все нужные данные и отношения между ними.
Ответ без проверки и единиц измерения может оказаться неверным или непонятным. Эту ошибку допускают, когда считают вычисления последним шагом и забывают о вопросе задачи. Подставь результат в связи из условия, оцени, возможен ли он в данной ситуации, и запиши величину вместе с единицами. Например, стоимость нужно указывать в рублях, а количество предметов — в штуках или с названием предмета.
Для решения задач нужны навыки арифметических действий и соблюдение порядка действий: без них нельзя верно выполнить вычисления. Краткая запись опирается на умение читать и составлять выражения, а схемы и таблицы помогают организовать данные. Если связи между величинами удобно записать через неизвестное, пригодится составление уравнений. Эти приёмы будут нужны при изучении уравнений, пропорций и процентов, а также в практических задачах по другим предметам.
С чего начинать решение задачи?
Сначала прочитай условие целиком и своими словами сформулируй, что известно и что требуется найти. Затем выясни, какие величины связаны между собой, и при необходимости сделай краткую запись или схему.
Зачем делать краткую запись или чертить схему?
Краткая запись помогает упорядочить данные и не перепутать, к каким величинам они относятся. Схема наглядно показывает отношения между величинами и помогает выбрать способ решения.
Как понять, какое действие нужно выполнить?
Определи, как связаны величины: например, складываются ли части в целое или известна цена нескольких одинаковых предметов. Выбирай действие по этой связи, а не только по отдельным словам из условия.
Когда задачу удобно решать с помощью уравнения?
Уравнение удобно, если одна из величин неизвестна, но её можно выразить через другую и записать связь между ними. Неизвестное обозначают буквой, составляют равенство по условию и находят значение буквы.
Как проверить, что ответ подходит к условию?
Подставь найденные значения в связи из условия и проверь, выполняются ли они. Затем сверь результат с вопросом и ситуацией: ответ должен быть записан с подходящими единицами измерения.
2.26. Решение задач
