2.27. Сложение и вычитание трёхзначных чисел в столбик

Определения и обозначения

Сложение трёхзначных чисел в столбик — это запись слагаемых друг под другом так, чтобы совпали разряды, и последовательное сложение единиц, десятков и сотен. Например, цифра сотен одного числа должна оказаться под цифрой сотен другого. Такой способ помогает не смешивать значения цифр и удобно учитывать переход через разряд.

Перенос единицы в следующий разряд — действие при сложении, когда сумма цифр разряда равна 10 или больше. В текущем разряде оставляют цифру единиц суммы, а одну десятку прибавляют к следующему разряду. Перенос нужен потому, что десять единиц составляют один десяток, а десять десятков — одну сотню.

Вычитание трёхзначных чисел в столбик — это запись уменьшаемого и вычитаемого друг под другом по разрядам с последовательным вычитанием цифр. Уменьшаемое — число, из которого вычитают, а вычитаемое — число, которое вычитают. Действие по разрядам упрощает вычисление, если в каком-то разряде приходится выполнять обмен.

Разрядный обмен при вычитании — замена одной единицы более высокого разряда десятью единицами соседнего разряда. Например, один десяток можно обменять на десять единиц. Обмен применяют, когда цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого в соответствующем разряде, чтобы выполнить вычитание без отрицательного результата в этом разряде.

Как это устроено

При записи чисел в столбик важно поставить цифры по разрядам, потому что одинаковая цифра в разных разрядах имеет разное значение. Например, 3 в разряде единиц означает три единицы, а 3 в разряде сотен — триста. Поэтому сначала выравнивают правые края чисел: единицы оказываются под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Если в записи случайно сдвинуть число, вычисление будет относиться уже к другим разрядам.

Сложение начинают с единиц, потому что при их сложении сразу становится ясно, нужен ли перенос в десятки. Затем складывают десятки и прибавляют к ним перенесённую единицу, если она есть; после этого складывают сотни. Когда сумма цифр разряда достигает 10, она состоит из полного десятка и оставшихся единиц. В разряде записывают остаток, а полный десяток учитывают в следующем разряде, иначе часть суммы потеряется.

Вычитание тоже начинают с единиц: результат каждого разряда зависит от соответствующих цифр уменьшаемого и вычитаемого. Если единиц уменьшаемого достаточно, вычитают сразу; если нет, один десяток обменивают на десять единиц. Тогда можно выполнить вычитание в разряде единиц, а десятков в уменьшаемом становится на один меньше. По той же причине при нехватке десятков обменивают одну сотню на десять десятков.

Если в разряде десятков стоит ноль, занять из него одну единицу нельзя. Нужно двигаться влево до ближайшего разряда, где есть ненулевая цифра: одну его единицу уменьшают на единицу, а нулевые разряды между ним и текущим увеличивают на 10 единиц своего разряда. Например, при обмене сотни через ноль получается десять десятков, из которых один десяток можно обменять на десять единиц. Так обмен проходит через нулевой разряд, не меняя общего значения числа.

Проверка обратным действием позволяет обнаружить ошибку в вычислении. Если сложить два числа, из полученной суммы можно вычесть одно слагаемое: должно остаться другое. Если выполнить вычитание, к разности прибавляют вычитаемое и сравнивают результат с уменьшаемым. Такая проверка полезна, потому что перенос и обмен могут быть выполнены неверно, даже если запись столбиком выглядит аккуратно.

Сложение и вычитание трёхзначных чисел в столбик

В таблице собраны основные случаи и порядок действий. Пользуйся строкой, которая подходит к примеру: сначала определи, нужен ли перенос или разрядный обмен, затем выполни действие по разрядам. В последнем столбце указано обратное действие для проверки.

Разбор задач

Вычислите 243 + 315 в столбик. Сначала выравниваем разряды, затем проверяем, понадобится ли перенос: каждую пару цифр можно сложить без получения 10. Значит, числа складываются по разрядам независимо, и переносить десяток не нужно.

1. Единицы: 3 + 5 = 8, записываем 8.
2. Десятки: 4 + 1 = 5, записываем 5.
3. Сотни: 2 + 3 = 5, записываем 5.

Ответ: 558. В результате разряды стоят на своих местах: 5 сотен, 5 десятков и 8 единиц. Проверка: 558 − 315 = 243.

Вычислите 278 + 156 в столбик. Записываем числа по разрядам и начинаем с единиц. Здесь сумма единиц больше 9, поэтому полученный десяток нужно учесть при сложении десятков; там также возникнет перенос в сотни.

1. Единицы: 8 + 6 = 14. Записываем 4 единицы, переносим 1 десяток.
2. Десятки: 7 + 5 + 1 = 13. Записываем 3 десятка, переносим 1 сотню.
3. Сотни: 2 + 1 + 1 = 4. Записываем 4 сотни.

Ответ: 434. Каждый перенос прибавлен к следующему разряду, поэтому ни один полный десяток или сотня не потерян. Проверка: 434 − 156 = 278.

Вычислите 502 − 278 в столбик и проверьте результат. В разряде единиц из 2 нельзя вычесть 8, а в десятках стоит 0, поэтому обмен нужно провести через ноль. Сначала занимаем сотню, превращая её в десять десятков; один десяток затем обмениваем на десять единиц.

1. Сотни уменьшаются с 5 до 4, а десятки из 0 становятся 10.
2. Из 10 десятков занимаем один: десятков остаётся 9, единиц становится 12.
3. Единицы: 12 − 8 = 4; десятки: 9 − 7 = 2.
4. Сотни: 4 − 2 = 2. Читаем результат по разрядам.

Ответ: 224. Проверяем сложением: 224 + 278 = 502, значит, разность найдена верно.

Типичные ошибки

Если цифры разных разрядов оказались друг под другом, столбик составлен неверно. Такую ошибку допускают, когда ориентируются не на правый край числа, а на его начало или случайно сдвигают запись. Проверь, что единицы стоят в одном столбце, десятки — в следующем, сотни — ещё левее. Полезно перед вычислением подписать разряды.

При сложении иногда записывают только цифру единиц суммы, но забывают перенести десяток или сотню. Это происходит, если вычисление торопятся продолжить и не отмечают перенос над следующим разрядом. После каждой суммы не меньше 10 проверь, записан ли остаток и учтён ли полный десяток дальше. Обратное вычитание также поможет заметить потерянный перенос.

При вычитании можно попытаться занять единицу у соседнего разряда, где стоит ноль, и остановиться. Но ноль не содержит единиц для обмена, поэтому нужно найти ненулевой разряд левее и провести обмен через нули. Проверь, что в разряде, откуда заняли, цифра действительно была больше нуля. Если результат вызывает сомнение, сложи его с вычитаемым.

После разрядного обмена иногда оставляют прежнюю цифру в разряде, из которого заняли единицу. Ошибка появляется, когда внимание сосредоточено только на получении десяти единиц для вычитания. После каждого обмена уменьши на единицу разряд-источник, а при обмене через ноль проверь изменения всех затронутых разрядов. Затем пересчитай столбик справа налево.

Связь с другими темами

Для вычислений в столбик нужно знать разрядный состав трёхзначного числа и таблицу сложения и вычитания однозначных чисел. Разрядный состав помогает понять, почему цифры располагают именно в таком порядке и как действует обмен: десяток равен десяти единицам, сотня — десяти десяткам. Табличные вычисления нужны на каждом шаге, когда складывают или вычитают цифры разряда.

Этот навык пригодится при действиях с многозначными числами: принцип записи по разрядам и переноса сохраняется. Он также помогает решать текстовые задачи, где нужно найти сумму или разность величин, и проверять вычисления обратным действием. Чем увереннее выполнены разрядные действия, тем легче заметить ошибку в ответе.

Что запомнить

• При записи в столбик единицы пишут под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотнями.
• Складывать и вычитать в столбик начинают с разряда единиц.
• При сложении полный десяток переносят в следующий разряд.
• При вычитании нехватку единиц восполняют разрядным обменом.
• Если рядом ноль, обмен может пройти через несколько разрядов.
• Сложение проверяют вычитанием, а вычитание — сложением.