"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Текстовая задача описывает ситуацию, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину. Чтобы решить её, недостаточно выбрать подходящее действие: сначала нужно понять, как связаны данные, и представить эти связи в виде модели — например, уравнения, схемы или таблицы. Затем модель решают, проверяют результат по условию и записывают ответ с указанием найденной величины. Такой порядок помогает не перепутать вопрос задачи с промежуточным вычислением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание ситуации, в которой по данным условия нужно найти неизвестную величину. В тексте могут быть числа, названия величин и отношения между ними, например «на 3 больше» или «в несколько раз меньше». Определение помогает отличить задачу от просто рассказа: в задаче есть вопрос, на который можно ответить, используя данные.
Математическая модель задачи — запись её условия и связей между величинами с помощью выражений, уравнений, схемы или таблицы. Например, если известно, что к некоторому числу прибавили 5 и получили 12, моделью будет уравнение x + 5 = 12. Модель нужна, чтобы перейти от слов к точной записи, с которой можно выполнять математические действия.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти; её обозначают переменной, например x или y. Переменная — это буква, которой временно заменяют неизвестное число, поэтому рядом нужно пояснить, что она означает. Такое обозначение помогает выразить через одну величину другие и составить уравнение.
Ответ задачи — значение неизвестной величины, которое удовлетворяет условию и отвечает на вопрос задачи. Найденное число само по себе ещё не всегда является ответом: нужно указать, к какой величине оно относится, и при необходимости добавить единицу измерения. Проверка ответа помогает убедиться, что результат подходит и по вычислениям, и по смыслу.
Решение начинают с внимательного чтения условия, потому что при первом чтении легко заметить числа, но пропустить, о чём именно спрашивают. Выдели известные и неизвестные величины, вопрос задачи и единицы измерения. Полезно перечитать текст и своими словами сформулировать, что требуется найти. Тогда меньше риск решить задачу не до конца или вычислить не ту величину.
Чтобы установить связи между величинами, можно сделать краткую запись, схему или таблицу. В них удобно расположить данные рядом с теми величинами, к которым они относятся: например, отдельно показать скорость и время каждого участника движения. Такая запись уменьшает путаницу, особенно если в условии несколько объектов или действий. По ней проще заметить, какие данные нужно складывать, сравнивать или связывать другим способом.
Неизвестную величину обозначают переменной и через неё выражают остальные величины, опираясь на смысл условия. Например, если скорость одного велосипедиста равна x км/ч, а скорость второго на 3 км/ч больше, то она равна x + 3 км/ч. Пояснение к переменной позволяет следить за тем, какие величины стоят за числами и выражениями. Выбирай обозначение так, чтобы остальные данные было удобно записать через него.
По найденным связям составляют математическую модель: это может быть выражение или уравнение, которое точно передаёт условие. После составления модели её решают известным способом, например выполняют арифметические действия или находят корень уравнения. На этом шаге важно не подменять связь между величинами догадкой, основанной на отдельных словах. Если модель не отражает смысл ситуации, правильные вычисления всё равно не дадут решения задачи.
Полученное значение проверяют по условию и оценивают, подходит ли оно по смыслу и единицам измерения. Например, число страниц не может быть отрицательным, а скорость в задаче о движении должна быть выражена в единицах скорости. Подстановка значения в уравнение помогает проверить вычисления, а сравнение с условием — смысл результата. После проверки сформулируй ответ словами и назови найденную величину.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Разобрать условие | Определить данные, неизвестное и вопрос | Все ли данные учтены |
| Выбрать обозначение | Обозначить неизвестную величину переменной | Понятно ли, что означает переменная |
| Составить модель | Записать связи между величинами | Соответствует ли запись условию |
| Решить модель | Найти значение переменной | Выполнены ли математические преобразования верно |
| Проверить и ответить | Соотнести результат с условием и записать ответ | Подходит ли результат по смыслу и единицам |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда выполнил предыдущий. В последнем столбце собраны вопросы для самопроверки, а не дополнительные вычисления. Если проверка выявила затруднение, вернись к тому этапу, на котором появилась ошибка.
В одной коробке 8 карандашей. Нужно узнать, сколько карандашей в трёх таких коробках. Поскольку коробки одинаковые, количество карандашей повторяется три раза. Значит, здесь удобно умножить число карандашей в одной коробке на число коробок.
Ответ: в трёх коробках 24 карандаша. Единица измерения — карандаши — соответствует вопросу задачи. Здесь не требуется переменная, потому что все данные известны и нужно выполнить одно действие.
Из книги прочитали 18 страниц, и осталось прочитать 42 страницы. Требуется найти число страниц во всей книге. Общее количество состоит из двух частей: уже прочитанной и оставшейся. Обозначим неизвестное общее число страниц через x и запишем эту связь равенством.
Ответ: в книге 60 страниц. Проверка возвращает нас к исходным данным и подтверждает, что найдено именно общее количество. Если бы вопрос был о числе непрочитанных страниц, искать нужно было бы другую величину, но здесь она уже дана.
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов, удалённых на 54 км, и встретились через 2 часа. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого. Нужно найти обе скорости. При встречном движении их пройденные расстояния вместе составляют 54 км, поэтому сначала выразим эти расстояния через скорости и время.
Ответ: скорости велосипедистов — 12 км/ч и 15 км/ч. Проверка использует и условие о разнице скоростей, и расстояние между пунктами. Обе скорости положительны, а более быстрая действительно на 3 км/ч больше.
Если начать вычисления, не разобрав вопрос и связи между данными, можно найти не ту величину. Так происходит, когда внимание сразу привлекают числа, а смысл текста остаётся неясным. Перед вычислениями сформулируй вопрос своими словами и проверь, ведут ли выбранные действия именно к нему.
Если не пояснить, что обозначает переменная, легко перепутать неизвестное с другой величиной. Например, x может означать скорость одного участника или общее расстояние, и уравнение тогда прочитывается неверно. Подпиши обозначение и при каждом появлении x сверяйся с этой подписью.
Уравнение, составленное по отдельным словам, а не по отношениям между величинами, может не соответствовать условию. Слова «всего», «осталось» или «больше» сами по себе не диктуют действие: нужно выяснить, какие именно величины сравнивают или объединяют. Прочитай каждую часть уравнения вслух и объясни, какой ситуации она соответствует.
Записывать найденное число ответом без проверки опасно: оно может быть вычислено верно, но не подходить по смыслу или единицам. Эту ошибку допускают, когда считают, что решение заканчивается на последнем действии. Подставь значение в модель, сравни его с данными условия и проверь, может ли такая величина существовать в описанной ситуации.
Для решения текстовых задач нужны навыки арифметических действий и умение решать простые уравнения. Составление математической модели пригодится при дальнейшем изучении уравнений: буквенная запись помогает описывать неизвестные величины и связи между ними. Этот способ применяют и в практических задачах, например при расчётах покупок, движения и совместной работы. Краткие записи, схемы и таблицы помогают упорядочить данные и увидеть отношения, которые трудно удержать в памяти.
Зачем составлять краткую запись, если условие можно перечитать?
Краткая запись собирает данные и вопрос в одном месте, поэтому связи между величинами видны лучше. Она особенно полезна, если в задаче несколько величин или этапов.
Как выбрать, какую величину обозначить переменной?
Обычно выбирают величину, которую требуется найти, или ту, через которую удобно выразить остальные. Запишите рядом, что именно означает переменная, и проверьте, не усложняет ли такой выбор модель.
Как понять, какое уравнение соответствует условию?
Сначала объясните словами связь между величинами, а затем запишите её с помощью действий и знака равенства. Проверьте каждую часть уравнения: она должна обозначать величину или отношение, которое действительно есть в условии.
Нужно ли проверять ответ подстановкой в уравнение?
Подстановка помогает проверить, верно ли найдено значение переменной и выполняется ли уравнение. Но одной такой проверки мало: нужно также убедиться, что число подходит по смыслу задачи и по единицам измерения.
Что делать, если найденное число не подходит по смыслу задачи?
Не записывайте его ответом. Проверьте, правильно ли поняты вопрос и данные, что означает переменная и соответствует ли уравнение условию; затем повторите вычисления.
2.28. Решение задач
