1.16. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь записывается двумя числами: числителем над чертой и знаменателем под ней. Она показывает, сколько равных долей целого рассматривается; например, 3/7 — это три доли из семи равных. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что целое нельзя разделить на ноль частей.

Числитель — число над дробной чертой, которое указывает количество взятых равных частей. В дроби 5/8 рассматриваются пять долей. Это число помогает понять, сколько частей нужно объединить при сложении.

Знаменатель — число под дробной чертой, показывающее, на сколько равных частей разделено целое. В дроби 5/8 каждая доля составляет одну восьмую целого. Знание размера доли позволяет понять, какие части можно складывать напрямую.

Дроби с одинаковыми знаменателями имеют одно и то же число под дробной чертой. Например, 2/9 и 4/9 — такие дроби: в обеих целое разделено на девять равных частей. Значит, доли в них одного размера, и можно просто посчитать, сколько долей взято вместе.

Как это устроено

Представим целое, разделённое на восемь одинаковых частей. Если взять сначала три такие части, а затем ещё две, всего будут заняты пять частей; этому соответствует запись 3/8 + 2/8 = 5/8. Складываются именно числители, потому что они считают части одного и того же размера. Считать их можно вместе так же, как одинаковые предметы.

Знаменатель суммы не меняется: после объединения частей каждая из них по-прежнему равна одной восьмой целого. Например, к трём восьмым добавили две восьмых, а не части другого размера. Если бы изменить знаменатель, получилось бы описание долей иной величины, а не ответ на исходное сложение.

Правило записывают так: a/b + c/b = (a + c)/b, где b ≠ 0. Буквы a и c обозначают числители слагаемых, а одинаковая буква b — их общий знаменатель. Чтобы сложить дроби, складывают числа над чертами, записывают прежний знаменатель и при необходимости упрощают ответ.

Если сумма числителей равна знаменателю, дробь равна одному целому: например, 4/7 + 3/7 = 7/7 = 1. Если числитель больше знаменателя, получается неправильная дробь, которую можно записать смешанным числом: 9/7 = 1 2/7. Сокращение тоже может сделать запись удобнее: 6/10 = 3/5, поскольку числитель и знаменатель делятся на 2.

Проверка по смыслу зависит от задачи: например, пройденная часть маршрута не может стать меньше одной из пройденных частей. Если складывают части одного целого, результат также соотносят с целым и условием. Для проверки вычисления можно вычесть из суммы одно слагаемое: если 3/8 + 2/8 = 5/8, то 5/8 − 3/8 = 2/8.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сначала проверьте, совпадают ли знаменатели слагаемых, затем действуйте по строке, подходящей к результату. Сокращение и выделение целой части выполняют тогда, когда это возможно или требуется по условию.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2/9 + 4/9. У дробей одинаковые знаменатели, значит, они описывают доли одного размера. После сложения проверим, можно ли упростить ответ.

1. Складываем числители: 2 + 4 = 6.
2. Знаменатель 9 оставляем прежним: получаем 6/9.
3. Числа 6 и 9 делятся на 3, поэтому сокращаем дробь: 6/9 = 2/3.

Ответ: 2/3.

Задача 2. Вычислите 5/12 + 9/12 и представьте ответ смешанным числом. Сначала нужно объединить доли двенадцатого размера, а затем определить, сколько целых содержится в сумме. Остаток частей запишем в виде дроби.

1. Складываем числители: 5 + 9 = 14.
2. Знаменатель остаётся равен 12, поэтому сумма равна 14/12.
3. В 14/12 содержится 12/12, то есть одно целое, и ещё 2/12: получаем 1 2/12.
4. Сокращаем 2/12 на 2: окончательная запись — 1 1/6.

Ответ: 1 1/6.

Задача 3. За первый день турист прошёл 3/8 маршрута, за второй — 4/8. Какую часть он прошёл за два дня и какую часть осталось пройти? Обе части выражены в восьмых, поэтому их можно сложить. Весь маршрут равен 8/8, и это поможет найти остаток.

1. Находим пройденную часть: 3/8 + 4/8 = 7/8.
2. Сравниваем её с целым маршрутом: прошли меньше 8/8, значит, остаток есть.
3. Вычитаем пройденную часть из целого: 8/8 − 7/8 = 1/8.

Ответ: за два дня турист прошёл 7/8 маршрута, осталось пройти 1/8.

Типичные ошибки

Некоторые складывают и числители, и знаменатели, например считают, что 2/9 + 4/9 = 6/18. Так делают, перенося правило сложения целых чисел на дроби и забывая, что размер доли не меняется. Проверьте смысл записи: 2/9 и 4/9 — это шестые доли? Нет, это шесть долей размера 1/9, то есть 6/9.

Другая ошибка — оставить числитель, но сложить знаменатели: 2/9 + 4/9 не может дать 2/18. Здесь путают количество частей с размером каждой части. Для самопроверки посчитайте, сколько долей одного размера взято: их должно стать больше, а не столько же, сколько было в одном слагаемом.

Нельзя сразу применять правило к дробям с разными знаменателями. Например, у 1/3 и 1/4 части целого имеют разный размер, поэтому складывать только числители нельзя; сначала нужно привести дроби к общему знаменателю. Проверяйте, совпадают ли числа под дробной чертой до вычислений.

Иногда ответ не сокращают или оставляют неправильную дробь, хотя условие просит смешанное число. Ошибку допускают, если останавливаются сразу после сложения числителей. После вычисления проверьте, есть ли у числителя и знаменателя общий делитель, и уточните, в каком виде требуется записать ответ.

Связь с другими темами

Для сложения дробей полезно знать, что означают числитель и знаменатель, и уметь сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями: так проще оценить ответ. При дробях с разными знаменателями сначала используют приведение к общему знаменателю, после чего становится применимо знакомое правило. Оно также помогает решать задачи о частях целого и выполнять действия со смешанными числами, в которых есть целая и дробная части.

Что запомнить

• При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складывают числители.
• Знаменатель суммы остаётся прежним.
• Знаменатель показывает размер долей, а числитель — их количество.
• Если дроби имеют разные знаменатели, сначала их приводят к общему знаменателю.
• Неправильную дробь при необходимости представляют смешанным числом.
• Результат при возможности сокращают.