1.15. Решение задач

Определения и обозначения

Задача — текст, в котором описана ситуация, даны известные данные и поставлен вопрос, требующий ответа. Иначе говоря, в задаче соединены рассказ о том, что произошло, числа или другие сведения и то, что надо узнать. Это определение помогает отличить задачу от простого набора вычислений: здесь нужно сначала понять смысл ситуации.

Условие задачи — сведения о ситуации и величинах, которые известны или связаны между собой. В условии могут быть числа, единицы измерения и отношения между величинами, например «на 8 страниц больше» или «3 одинаковые тетради». Выделяя условие, мы отделяем полезную информацию от деталей, которые могут не понадобиться для ответа.

Вопрос задачи — то, что требуется найти; он определяет, какие данные и действия нужны для решения. Вопрос часто сформулирован отдельным предложением, но его смысл нужно учитывать на протяжении всех вычислений. Если не держать его в виду, легко получить верное промежуточное число, которое ещё не является ответом.

Решение задачи — последовательность рассуждений и действий, которая приводит от условия к ответу. В него входят не только вычисления, но и объяснение того, почему выбрано каждое действие. Запись решения позволяет проверить ход мысли и показать, как данные из условия привели к искомой величине.

Как это устроено

Сначала прочитай задачу целиком и отдели известные данные от искомой величины. Полезно пересказать ситуацию своими словами и отметить, что именно требуется найти. Так можно не принять одно из чисел за ответ и заметить сведения, не относящиеся к вопросу. Если данные записать отдельно, легче увидеть, каких из них достаточно для решения.

До вычислений установи, как величины связаны между собой. Например, остаток зависит от исходного количества и количества взятых предметов, а стоимость нескольких одинаковых вещей связана с ценой одной вещи и числом вещей. Это важно, потому что одно и то же число может участвовать в разных отношениях. Понимание связи помогает выбрать действие осмысленно, а не по случайно встретившемуся слову.

Подбирай действие по смыслу ситуации и объясняй, что оно означает. Сложение может объединять части, вычитание — показывать остаток или разность, умножение — находить сумму одинаковых слагаемых, а деление — делить на равные части или находить величину одной части. Слова «больше» и «всего» сами по себе не задают действие: нужно понять, о каких величинах идёт речь. Объяснение помогает проверить, действительно ли вычисление отвечает условию.

Если ответ нельзя найти одним действием, сначала определи, какую промежуточную величину нужно узнать. Затем запиши действия по порядку с пояснениями или составь выражение, в котором порядок вычислений соответствует связям в задаче. После вычислений проверь числа и ход решения, а затем вернись к исходному вопросу. Результат должен обозначать именно ту величину, которую просили найти, а не только быть правильным вычислением.

Ответ сформулируй словами, а не оставляй в записи одно число. Укажи, что найдено: например, «осталось 11 карандашей», а не просто «11». Единица измерения нужна, когда она задаёт смысл величины: страницы, рубли, карандаши и другие предметы. Такая запись делает итог понятным и позволяет сопоставить его с вопросом.

Этапы решения текстовой задачи

Пользуйся таблицей как последовательностью шагов: переходи к вычислениям, только когда понял связи между величинами. Для каждого действия попробуй назвать, что именно оно находит. В конце обязательно сверь результат с вопросом задачи.

Разбор задач

Задача 1. В коробке было 18 карандашей, 7 карандашей взяли. Сколько карандашей осталось? Нужно найти остаток, поэтому важно сравнить исходное количество с тем, сколько предметов убрали. Уменьшение количества в такой ситуации соответствует вычитанию.

1. В коробке было 18 карандашей — это исходное количество.
2. Вычислим, сколько осталось: 18 − 7 = 11 (карандашей).
3. Проверим смысл результата: после того как часть взяли, карандашей должно стать меньше, чем было.

Ответ: осталось 11 карандашей. Число 11 отвечает именно на вопрос об остатке, а слово «карандашей» указывает, что найдено.

Задача 2. В первый день прочитали 24 страницы, а во второй — на 8 страниц больше. Сколько страниц прочитали за два дня? Вопрос относится к общему числу страниц, но количество за второй день пока неизвестно. Сначала найдём его, используя сравнение дней, и только потом объединим прочитанное за оба дня.

1. Во второй день прочитали на 8 страниц больше, чем в первый: 24 + 8 = 32 (страницы).
2. Теперь известны оба количества, поэтому найдём общее: 24 + 32 = 56 (страниц).
3. Проверим, что сложены именно два дневных результата, а второй из них предварительно найден.

Ответ: за два дня прочитали 56 страниц. Порядок действий важен: первое действие находит количество за второй день, а второе отвечает на вопрос задачи.

Задача 3. За 3 одинаковые тетради заплатили 210 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Сначала требуется найти цену одной тетради, потому что известна общая стоимость нескольких одинаковых предметов. После этого можно определить стоимость пяти тетрадей; обе операции нужны, так как напрямую цена пяти тетрадей не дана.

1. Найдём цену одной тетради: 210 : 3 = 70 (рублей).
2. Умножим цену одной тетради на количество нужных тетрадей: 70 · 5 = 350 (рублей).
3. Проверим, что найденная цена одной тетради использована для пяти штук, а итог выражен в рублях.

Ответ: 5 таких тетрадей стоят 350 рублей. Деление позволило перейти от стоимости трёх одинаковых тетрадей к стоимости одной, а умножение — к стоимости пяти.

Типичные ошибки

Начинать вычисления, не выяснив, что спрашивается. Тогда можно найти промежуточную величину и принять её за ответ. Так бывает, если ученик обращает внимание только на числа, не перечитывая вопрос. Проверь себя: сформулируй, что обозначает последний результат, и сравни это с вопросом.

Выбирать действие только по словам «больше», «меньше» или «всего». Одно слово не всегда объясняет связь величин, поэтому действие может оказаться неверным. Такая ошибка возникает, когда правило подменяет анализ ситуации. Спроси себя, что изменилось или какие части соединяются, и объясни смысл вычисления.

Менять порядок действий в составной задаче. Если сначала выполнить действие, для которого ещё нет нужного значения, решение теряет смысл или приводит к неправильному ответу. Ошибку допускают, когда видят числа, но не определяют, какое из них сначала нужно найти. Проверь, что каждый шаг использует известные данные или результат предыдущего шага.

Записывать только число без пояснения и единицы измерения. Число без названия величины может быть непонятно, а без единицы измерения — не соответствовать вопросу. Обычно так происходит, когда вычисление считают единственной частью решения. Перечитай вопрос и оформи ответ словами, указав нужную единицу.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны навыки вычислений и понимание смысла сложения, вычитания, умножения и деления. Чтение математических выражений и знание порядка действий помогают верно записать решение в несколько шагов. Анализ условия пригодится в задачах на движение, стоимость и производительность: в них нужно устанавливать связи между величинами. Он также помогает при составлении уравнений, когда неизвестную величину обозначают буквой.

Что запомнить

• Сначала пойми ситуацию, затем вычисляй.
• В условии найди данные и вопрос.
• Каждое действие должно быть связано с условием задачи.
• В составной задаче промежуточный результат помогает найти ответ.
• Проверь, отвечает ли результат на поставленный вопрос.
• Запиши ответ словами и укажи единицу измерения, если она нужна.