"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Сравнение дробей помогает определить, какое из двух дробных чисел больше, меньше или равно другому. Оно нужно, чтобы упорядочивать числа, решать задачи и выполнять действия с дробями. Если знаменатели одинаковы, сравнивают числители; если одинаковы числители — знаменатели. Когда различаются и числители, и знаменатели, дроби обычно приводят к общему знаменателю. Результат можно проверить по отношению дробей к единице или по их положению на числовом луче.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сравнение дробей — установление, какая из двух дробей больше, меньше или равна другой. Для записи используют знаки >, < и =. Например, запись 2/5 < 3/5 означает, что две пятых меньше трёх пятых. Сравнение помогает расположить дроби по порядку и выбрать нужную величину в задаче.
Дроби с одинаковыми знаменателями — дроби, у которых равны числа под чертой. Знаменатель показывает, на сколько одинаковых частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Поэтому при одинаковых знаменателях сравнивают числители: они считают части одного и того же размера. Это правило позволяет быстро сравнить, например, 3/8 и 5/8.
Дроби с одинаковыми числителями — дроби, у которых равны числа над чертой. В таких дробях взяли одинаковое число частей, но сами части могут быть разного размера. Чтобы определить, какая дробь больше, нужно учесть знаменатели: при меньшем знаменателе каждая часть крупнее. Это правило пригодится, например, при сравнении 3/5 и 3/7.
Общий знаменатель — число, к которому можно привести знаменатели сравниваемых дробей. После приведения дроби становятся равными по размеру частей, и остаётся сравнить, сколько таких частей взято. Общий знаменатель выбирают среди чисел, кратных обоим знаменателям. Этот приём особенно удобен, когда у дробей различаются и числители, и знаменатели.
Представь одно и то же целое, разделённое на равное число частей. Если знаменатели совпадают, все части имеют одинаковый размер, поэтому больше та дробь, в которой взяли больше частей. Например, пять восьмых больше трёх восьмых, потому что в обоих случаях сравниваются восьмые доли, но первых взяли больше. Именно поэтому при одинаковых знаменателях сравнивают числители, а не знаменатели.
При одинаковых числителях число взятых частей уже совпадает, но размер каждой части зависит от того, на сколько частей разделили целое. Чем больше частей, тем мельче каждая из них: одна пятая крупнее одной седьмой. Значит, три пятых больше трёх седьмых, хотя знаменатель у первой дроби меньше. Здесь сравнивают не число частей, а их размер.
Когда различаются оба числа, сравнение одних только числителей или знаменателей не даёт надёжного ответа. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, чтобы одинаковыми стали размеры частей. Затем сравнивают числители по уже знакомому правилу. Например, 2/3 и 3/5 можно представить как 10/15 и 9/15, после чего видно, что 2/3 > 3/5.
Общий знаменатель удобно искать среди кратных исходных знаменателей. Например, для 6 и 9 общими кратными будут 18, 36 и другие числа, делящиеся и на 6, и на 9; часто выбирают наименьшее из них, чтобы считать было проще. Если знаменатель умножают на какое-либо число, числитель умножают на то же число. Это равносильное умножению дроби на 1, поэтому её значение не меняется: 2/3 = 6/9.
Проверить сравнение помогает единица: дробь меньше 1, если числитель меньше знаменателя, а дробь больше 1, если числитель больше знаменателя. Можно также представить дроби на числовом луче: числа увеличиваются слева направо, поэтому правее расположена большая дробь. Для точной проверки луч делят на равные отрезки в соответствии со знаменателем. Эти способы полезны, когда нужно заметить ошибку или оценить ответ без подробных вычислений.
| Какие дроби сравниваем | Как сравнить | Почему это работает |
|---|---|---|
| Одинаковые знаменатели | Сравнить числители; большему числителю соответствует большая дробь. | Размер частей одинаков, различается только их количество. |
| Одинаковые числители | Больше дробь с меньшим знаменателем. | При делении целого на меньшее число частей каждая часть крупнее. |
| Разные числители и знаменатели | Привести дроби к общему знаменателю, затем сравнить числители. | После приведения доли имеют одинаковый размер. |
| Сравнение дроби с единицей | Сравнить числитель и знаменатель: меньший числитель означает дробь меньше 1. | Единица состоит из всех частей целого, указанных знаменателем. |
Сначала определи, чем отличаются данные дроби: знаменателями, числителями или обоими числами. Выбери соответствующую строку и примени правило. Если результат вызывает сомнение, оцени дроби относительно единицы или представь их на числовом луче.
Задача 1. Сравнить 3/8 и 5/8. Знаменатели равны, значит, восьмые доли в обеих дробях одинаковы по размеру. Нам остаётся выяснить, в какой дроби таких долей взято больше. Решение удобно записать по шагам:
Ответ: 3/8 < 5/8. Это можно представить на одном отрезке: пять восьмых занимают больше места, чем три восьмых. Знаменатели не сравнивают, потому что они уже показывают одинаковый размер долей.
Задача 2. Сравнить 3/5 и 3/7. Числители одинаковы, значит, в обеих дробях взяли по три части. Но пятые доли крупнее седьмых: целое разделили на меньшее число частей. Проверим это по правилу и запишем вывод:
Ответ: 3/5 > 3/7. Не следует думать, что больший знаменатель всегда даёт большую дробь: он означает более мелкие части. Здесь одинаковое количество более крупных частей составляет большую величину.
Задача 3. Сравнить 5/6 и 7/9. Здесь различаются и числители, и знаменатели, поэтому напрямую сравнить их нельзя. Подберём общий знаменатель: 18 делится и на 6, и на 9. Преобразование дробей не меняет их значения, если числитель и знаменатель умножить на одно число.
Ответ: 5/6 > 7/9. Полезно проверить полученное соотношение: обе дроби близки к единице, но 5/6 дальше от неё не настолько, чтобы уступить 7/9; точный ответ подтверждают общие знаменатели и сравнение числителей. При приведении мы сохранили значения дробей, поэтому итог относится к исходным дробям.
При одинаковых знаменателях иногда сравнивают сами знаменатели, хотя они уже равны, и забывают о числителях. Такую ошибку допускают, если смешивают значение числителя и знаменателя. Проверь себя: части в обеих дробях одинакового размера, поэтому нужно посчитать, сколько частей взяли. Например, 3/8 меньше 5/8.
При одинаковых числителях можно ошибочно решить, что больше дробь с большим знаменателем. Кажется, будто большее число в записи всегда увеличивает дробь, но знаменатель увеличивает число частей, на которые поделено целое. Значит, каждая часть становится меньше. Для проверки сравни единичные доли: 1/5 > 1/7, поэтому 3/5 > 3/7.
При приведении к общему знаменателю иногда умножают знаменатель, но забывают умножить числитель. Тогда значение дроби меняется: например, из 2/3 нельзя получить равную дробь 2/9, увеличив только знаменатель. Ошибка возникает, когда преобразование воспринимают как изменение одной части записи. Проверь себя: числитель и знаменатель должны быть умножены на один и тот же ненулевой множитель.
Если различаются и числители, и знаменатели, нельзя решать, какая дробь больше, по отдельным числам в записи. Больший числитель может сочетаться с более крупными или более мелкими долями, так что одного этого наблюдения недостаточно. Сначала приведи дроби к общему знаменателю, а затем сравни числители. Для самопроверки оцени результат относительно единицы или отметь дроби на числовом луче.
Чтобы сравнивать дроби, нужно знать, что показывают числитель и знаменатель: без этого трудно понять смысл правил. Также пригодится умение находить равные дроби, ведь именно на нём основано приведение к общему знаменателю. Для выбора общего знаменателя используй знания о кратных чисел — например, 18 кратно и 6, и 9. Сравнение дробей помогает упорядочивать числа и решать задачи, где нужно определить большую величину. Оно также понадобится при изучении действий с дробями: понимание размера дроби помогает оценивать и проверять ответы.
Почему при одинаковых числителях дробь с меньшим знаменателем больше?
Числитель показывает, сколько равных частей взяли, а знаменатель — на сколько частей разделили целое. Если частей меньше, каждая из них крупнее. Поэтому одинаковое число крупных частей составляет большую дробь.
Можно ли сравнить дроби с разными знаменателями, не приводя их к общему знаменателю?
Иногда можно воспользоваться сравнением с единицей или другими известными дробями, например ½. Но универсальный и наглядный способ — привести дроби к общему знаменателю. Тогда достаточно сравнить числители.
Как выбрать общий знаменатель?
Найдите число, которое делится на оба знаменателя, например одно из их общих кратных. Часто удобно взять наименьшее общее кратное, но подойдёт и другое общее кратное. Чем оно меньше, тем обычно проще вычисления.
Почему при приведении дроби нужно умножать и числитель, и знаменатель?
Умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значение дроби: фактически мы лишь записываем её по-другому. Если умножить только знаменатель или только числитель, получится другая дробь. Поэтому обе части дроби изменяют одинаково.
Как понять, больше дробь единицы или меньше?
Сравните числитель со знаменателем. Если числитель меньше знаменателя, дробь меньше единицы; если они равны, дробь равна единице. Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы.
1.12—1.14. Сравнение дробей
