"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Обыкновенные дроби помогают узнать, какую часть целого составляет величина, и восстановить целое, если известна только его часть. Чтобы найти дробь от числа, делят число на знаменатель и умножают на числитель. Чтобы найти число по его части, действуют наоборот: известную часть делят на числитель и умножают на знаменатель. Главное — сначала определить, что дано: целое или его часть.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Часть числа — результат деления целого на равные части и взятия некоторого их количества. Например, если целое разделили на 8 равных долей и взяли 3, получили три восьмых. Это понятие нужно, чтобы описывать доли предметов, величин и чисел.
Обыкновенная дробь показывает, на сколько равных частей разделено целое и сколько таких частей взято. В записи a/b число b внизу, знаменатель, указывает число всех долей, а число a вверху, числитель, — число взятых долей. Дробь связывает часть с целым и помогает записать эту связь точно.
Нахождение части числа — действие, которое позволяет узнать, сколько составляет заданная дробь от данного числа. Например, найти 3/8 от 40 означает узнать величину трёх восьмых числа 40. Это нужно, когда известна вся величина, а требуется определить некоторую её долю.
Нахождение числа по его части — восстановление целого, если известны его часть и дробь, которой эта часть соответствует. Например, можно узнать первоначальное количество, если известно, что 3/5 этого количества равны 18. Такой способ нужен, когда в задаче дана часть величины, но неизвестна величина целиком.
Чтобы найти одну долю числа, его делят на знаменатель дроби. Причина в том, что знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а равные доли имеют одинаковую величину. Например, одна восьмая от 40 равна 40 : 8 = 5. Значит, каждая из восьми долей составляет 5.
Чтобы найти несколько долей, величину одной доли умножают на числитель. Числитель показывает, сколько долей нужно взять, поэтому для трёх восьмых результат деления на 8 нужно умножить на 3. В общем виде a/b от числа N находят так: N : b · a. Это равносильно умножению N на дробь a/b, то есть N · a/b.
При нахождении целого по его части начинают с определения величины одной доли. Если известно, что a/b целого равны A, то A приходится на a долей, поэтому одну долю находят делением A на a. После этого результат умножают на b, ведь целое состоит из b таких долей. Так восстанавливается вся величина, а не только её часть.
То же действие можно записать короче: целое равно A : (a/b). Деление на дробь a/b равносильно умножению на обратную дробь b/a, поэтому A : (a/b) = A · b/a. Это та же последовательность: сначала разделить A на a, затем умножить на b. Например, 18 : (3/5) = 18 · 5 : 3.
Перед вычислениями выясни, какое число обозначает целое, а какое — часть. Если дробь меньше единицы, часть должна быть меньше целого; значит, при восстановлении целое должно получиться больше известной части. Эта проверка помогает заметить перепутанное действие или неверно выбранную дробь. Если условие говорит об остатке, не принимай его автоматически за израсходованную часть.
Выбери строку по тому, что требуется найти, и проверь, какие данные известны. Для части числа бери дробь от целого, а для восстановления целого — дробь, которой соответствует известная часть. Последний столбец помогает оценить результат без повторения всех вычислений.
| Что требуется найти | Что известно | Действие | Проверка смысла |
|---|---|---|---|
| Часть числа, соответствующую дроби a/b | Число N и дробь a/b | Умножить N на a/b или разделить N на b и умножить результат на a | Если дробь меньше единицы, найденная часть меньше N |
| Целое число по его части | Часть A, соответствующая дроби a/b | Разделить A на a/b; равносильно умножить A на b и разделить на a | Найденное целое больше A, если дробь меньше единицы |
Задача 1. Найти 3/8 от 40. Здесь известно целое число 40, а требуется найти его часть. Знаменатель 8 показывает, что сначала нужно разделить 40 на 8, чтобы найти одну восьмую. Числитель 3 указывает, что таких долей нужно взять три.
Ответ: 15.
Задача 2. Найти число, если 3/5 этого числа равны 18. Число 18 здесь не целое, а часть целого, состоящая из трёх пятых. Сначала выясним, чему равна одна пятая: три одинаковые доли вместе дают 18. После этого найдём пять таких долей, то есть всё число.
Ответ: 30.
Задача 3. В баке было некоторое количество воды. После того как израсходовали 2/7 запаса, осталось 25 л. Сколько воды было сначала? В условии известен остаток, а не израсходованная часть. Если израсходовали 2/7, то весь запас состоял из семи седьмых, и две седьмых убрали. Значит, 25 л соответствуют оставшимся 5/7 запаса.
Ответ: сначала в баке было 35 л воды.
При нахождении части числа иногда делят на числитель, а не на знаменатель. Так путают число взятых долей с числом всех равных долей: знаменатель отвечает за деление целого, числитель — за количество долей, которые нужно взять. Проверь себя: сначала найди одну долю делением на знаменатель, а затем умножь её на числитель. Например, для 3/8 от 40 первым действием должно быть 40 : 8.
При нахождении целого по его части могут умножить известное число на дробь. Это действие находит часть от целого, хотя целое уже неизвестно и его надо восстановить. Проверь, что известное число меньше искомого, если оно соответствует дроби меньше единицы. Умножение 18 на 3/5 не даст число, для которого 3/5 равны 18.
Ещё одна ошибка — после нахождения одной доли остановиться и не умножить её на знаменатель. Тогда получается только одна доля, а не всё целое. В задаче с 3/5 и 18 деление 18 на 3 даёт одну пятую, равную 6, но целое состоит из пяти таких долей. Проверь ответ обратным действием: вычисли от него заданную дробь и сравни с известной частью.
В задачах на остаток можно принять оставшуюся величину за израсходованную или наоборот. Так происходит, если сразу использовать дробь из условия, не выяснив, к какой величине она относится. Сначала назови словами известную часть: например, после расходования 2/7 остаётся 5/7. Затем проверь, что найденное целое больше остатка и что вычисленный расход вместе с остатком составляет весь запас.
Для этих задач нужно уметь умножать и делить натуральные числа, а также понимать обыкновенную дробь как несколько равных долей целого. Если смысл числителя и знаменателя ясен, выбор действий становится понятнее: знаменатель помогает найти одну долю, а числитель — нужное количество долей. Навык нахождения части числа используется в задачах на проценты и части величин. Восстановление целого по части пригодится при решении задач на пропорции.
Почему при нахождении части числа делят на знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. Поэтому деление на знаменатель даёт величину одной такой доли. Затем, если нужно несколько долей, результат умножают на числитель.
Можно ли найти дробь от числа одним действием?
Да, чтобы найти дробь a/b от числа N, можно вычислить N · a/b. Эта запись означает, что число умножают на числитель и делят на знаменатель. Если удобнее, сначала делят N на b, а затем умножают на a.
Как найти целое, если известна только его часть?
Сначала известную часть делят на числитель дроби, чтобы найти одну долю. Затем результат умножают на знаменатель: столько долей составляет целое. Например, если 3/5 числа равны 18, то число равно 18 : 3 · 5 = 30.
Почему при восстановлении числа нужно делить на дробь?
Известная часть равна целому, умноженному на соответствующую дробь. Чтобы вернуть целое, нужно выполнить обратное действие — разделить часть на эту дробь. Деление на a/b даёт тот же результат, что умножение на b и деление на a.
Как понять по условию задачи, какая величина является целым?
Целое — это вся величина, с которой сравнивают часть: например, весь запас воды до расходования или всё число до выделения его доли. Найдите, о какой величине говорится как о первоначальной или полной. Затем определите, какая дробь относится к известному числу.
1.11. Нахождение части числа. Нахождение числа по его части
