"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Если известна только часть числа, например 3/5, а её значение равно 24, можно восстановить целое число. Для этого известную часть делят на числитель дроби и умножают на знаменатель: 24 : 3 · 5. Такой способ обратен нахождению дроби от числа. Он помогает решать задачи о долях, расстоянии, массе, стоимости и других величинах; результат полезно проверять, находя от него заданную дробь.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Часть числа — результат нахождения дроби от целого числа: чтобы найти a/b числа N, число N делят на b и умножают на a. Например, 3/5 от 40 равны 40 : 5 · 3 = 24. Это определение помогает понять, каким действием получают известную часть.
Нахождение числа по его части — действие, при котором по известному значению дробной части восстанавливают целое число. Например, если известно, что 3/5 числа составляют 24, нужно найти исходное число. Это действие нужно, когда в задаче спрашивают всю величину, а сообщают лишь её долю.
Известная часть числа — значение, которое соответствует заданной дроби целого. В записи «4/7 маршрута — 20 км» дробь 4/7 показывает, какую часть взяли, а 20 км — её значение. Такое различение помогает не путать дробь и количество, выраженное в километрах, килограммах или других единицах.
Обратная задача — задача, в которой по значению части требуется найти число, от которого эта часть получена. Она обратна нахождению дроби от числа: сначала из целого получают часть, а теперь по части восстанавливают целое. Понятие обратной задачи подсказывает, что вычисления нужно выполнять в обратном порядке.
При нахождении дроби от числа целое сначала делят на знаменатель, чтобы разделить его на равные доли, а затем берут столько долей, сколько показывает числитель. Например, для 3/5 числа делят целое на 5 и берут 3 полученные доли. Когда значение этих трёх долей уже известно, требуется двигаться обратно от части к целому. Поэтому восстановление числа является обратным действием, а не повторением прежних вычислений в том же порядке.
Пусть a/b числа равно c. Дробь a/b состоит из a одинаковых долей, каждая из которых равна 1/b числа. Чтобы найти одну такую долю, значение всех a долей c делят на a: получается c : a. Затем находят целое: оно состоит из b долей 1/b, поэтому найденное значение умножают на b. Такой ход полезен и для вычислений, и для понимания смысла формулы.
Итак, для нахождения целого известную часть сначала делят на числитель, а результат умножают на знаменатель: c : a · b. Деление на числитель отвечает на вопрос, сколько составляет одна из равных долей, входящих в известную часть. Умножение на знаменатель возвращает все доли целого. Порядок действий важен: если сразу разделить c на b, получится не единичная доля, а неверное значение.
То же правило можно записать короче: если a/b числа равно c, то искомое число равно c : (a/b) = c · b/a. Здесь деление на дробь заменено умножением на обратную дробь b/a. Например, c : 3/5 означает c · 5/3, что совпадает с последовательностью «разделить на 3, умножить на 5». Такая запись особенно удобна, когда числитель или знаменатель не равен единице.
Проверка возвращает нас к исходному действию: от найденного числа нужно вычислить указанную в задаче дробь. Если результат равен c, найдено число, которое действительно могло дать известную часть. Если значения не совпали, следует проверить порядок действий и вычисления. В задачах с величинами также проверьте, что единица измерения ответа соответствует вопросу.
Таблица показывает, как перейти от известной дробной части к целому. Сначала найдите строку для 1/b числа, затем строку для целого и используйте соответствующие действия. После вычисления выполните проверку: заданная дробь от полученного числа должна равняться c.
| Что известно | Что требуется найти | Действие | Буквенная запись |
|---|---|---|---|
| a/b числа равно c | 1/b числа | c : a | c : a |
| a/b числа равно c | Целое число | (c : a) · b | c : (a/b) = c · b/a |
| Полученное целое число | Проверка результата | Найти a/b от полученного числа | Результат должен быть равен c |
Условие. 3/5 некоторого числа равны 24. Найдите это число. Известно значение трёх равных долей, а требуется узнать число, состоящее из пяти таких долей. Сначала удобно найти одну долю, а после — все пять.
Ответ: 40.
Условие. В первый день туристы прошли 4/7 всего маршрута, что составило 20 км. Какова длина всего маршрута? Число 20 км соответствует четырём долям из семи, поэтому сперва найдём длину одной доли. Затем восстановим весь маршрут и запишем единицу измерения.
Ответ: длина маршрута — 35 км.
Условие. Масса ящика с яблоками составляет 5/8 массы всех яблок, а масса ящика с яблоками равна 18 3/4 кг. Найдите массу всех яблок и проверьте ответ. Известное значение — пять восьмых целого, поэтому его нужно разделить на 5 и умножить на 8. Смешанное число можно предварительно перевести в неправильную дробь.
Ответ: масса всех яблок — 30 кг.
Иногда известную часть умножают на заданную дробь. Так делают, путая задачу с нахождением дроби от числа, где дробь действительно умножают на целое. Определите, что требуется найти: если известно значение части, а нужно целое, делите на дробь. Проверьте результат, найдя от него исходную дробь.
Делят известную часть на знаменатель и объявляют результат целым числом. Это неверно, потому что деление на знаменатель даёт одну долю 1/b, а не всё число. После этого результата нужно умножить на знаменатель. Проверка покажет ошибку, если заданная дробь от найденного значения не равна условию.
При делении на дробь не заменяют его умножением на обратную дробь. Например, c : (a/b) нельзя без изменения записать как c · a/b: дробь переворачивают, получая c · b/a. Выпишите эту замену отдельно и сравните её с правилом «разделить на числитель, умножить на знаменатель».
Ответ оставляют без проверки, поэтому могут не заметить вычислительную ошибку или неверные единицы измерения. Найдите от результата заданную часть и сравните её с известным значением. В текстовой задаче дополнительно убедитесь, что ответ дан в нужных единицах, например в километрах или килограммах.
Для этой темы нужно знать смысл обыкновенной дроби, уметь находить дробь от числа и выполнять умножение и деление дробей. Правило помогает решать текстовые задачи о долях, процентах, расстоянии, массе, стоимости и времени. Позже тот же способ пригодится при поиске целого по процентной или дробной части, а также при изучении пропорций и уравнений. Во всех случаях полезно различать целое и известную часть.
Почему при нахождении числа по его части нужно делить, а не умножать?
Дробная часть получилась из целого после деления на знаменатель и умножения на числитель. Чтобы восстановить целое, эти действия выполняют в обратном порядке: сначала делят известное значение на числитель, затем умножают на знаменатель. Поэтому искомое число равно известная часть : заданная дробь.
Как понять, что в задаче нужно искать число по его части?
В условии обычно известны значение дробной части и сама дробь, например 4/7 маршрута — это 20 км. Если спрашивают, сколько составляет весь маршрут, требуется восстановить целое по его части. Ищите слова «всего», «целое», «вся величина».
Что делать, если известная часть записана смешанным числом?
Можно перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем выполнить деление на заданную дробь. Например, 18 3/4 = 75/4. Другой способ — выполнять действия с десятичной записью, если она удобна и точна.
Можно ли сразу разделить известную часть на дробь?
Да. Если a/b числа равно c, то искомое число равно c : (a/b). Деление на дробь заменяют умножением на обратную: c : (a/b) = c · b/a.
Как проверить, правильно ли найдено исходное число?
Найдите от полученного числа ту же дробь, которая указана в условии. Для этого разделите число на знаменатель и умножьте на числитель. Если получилось известное значение части, решение верно.
1.10. Нахождение числа по его части
