"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Чтобы найти часть числа, заданную дробью, число умножают на эту дробь. Знаменатель показывает, на сколько равных частей нужно разделить целое, а числитель — сколько таких частей взять. Поэтому одну n-ю часть находят делением на n, а несколько частей — делением с последующим умножением. Этот способ помогает решать задачи о долях, величинах и процентах. Ответ можно проверить по смыслу: дробь меньше единицы даёт часть меньше исходного числа, а дробь больше единицы — больше него.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Доля единицы — одна или несколько равных частей, на которые разделили единицу. Одну из n равных частей записывают дробью 1/n, а m таких частей — дробью m/n. Например, 3/5 означает три части из пяти равных частей единицы. Такое обозначение позволяет коротко записывать доли и сравнивать их.
Часть числа — результат нахождения заданной доли от данного числа. Например, если найти 2/5 от 20, получится число, которое составляет две пятых от 20. Это понятие помогает переводить условие задачи о долях в вычисление. Так можно узнать, например, сколько составляет заданное количество одинаковых частей.
Нахождение части числа — действие, при котором исходное число умножают на соответствующую дробь. В записи a · m/n число n в знаменателе показывает, на сколько равных частей делят a, а число m в числителе — сколько частей берут. Поэтому дробь задаёт не просто вычисление, а порядок действий с числом. Такое правило удобно применять и в задачах, и в более коротких вычислениях.
Чтобы найти одну n-ю часть числа, его делят на n. Причина в том, что деление на равные части означает, что каждую часть получают одинакового размера. Например, если 30 предметов поровну распределить между пятью группами, в каждой будет 30 : 5 предметов. Значит, 1/5 от 30 равна 6.
Если нужно найти несколько равных частей, сначала находят одну часть делением на знаменатель, затем берут нужное число частей. Например, для 3/8 числа сначала делят число на 8, а полученное значение умножают на 3. Деление показывает размер одной восьмой, а умножение складывает три одинаковые части. Если забыть второй шаг, получится только одна часть, а не три.
Эти два шага можно записать одним действием: умножить число на дробь. Действительно, произведение a · m/n можно вычислить как (a : n) · m: деление на n находит одну часть, умножение на m — нужное количество таких частей. Поэтому, чтобы найти m/n числа a, умножают a на m/n. Выбирай запись, с которой удобнее считать, и следи, чтобы она передавала оба шага.
Смешанное число состоит из целой части и правильной дроби, например 1 1/4. Для вычисления его удобно перевести в неправильную дробь: 1 1/4 = 5/4. Затем исходное число умножают на эту дробь, как и при обычном нахождении части числа. Такой переход помогает выполнить вычисление по одному правилу. Он также показывает, что 1 1/4 больше единицы.
После вычислений проверь ответ сравнением с исходным числом. Если заданная доля меньше целого, например 3/8, часть положительного числа должна быть меньше него: взята только часть целого. Если дробь больше единицы, например 5/4, результат должен быть больше исходного числа. Такая оценка не заменяет вычисление, но помогает заметить ошибку в выборе действия или в счёте.
В таблице собраны способы для разных формулировок задания. Найди нужную строку и проверь, сколько частей требуется взять. Пример показывает порядок вычислений, а не ограничивает выбор удобной записи.
| Что требуется найти | Действие | Пример |
|---|---|---|
| Одну n-ю часть числа a | a : n | 1/5 от 35: 35 : 5 = 7 |
| Несколько равных частей числа a | Сначала a : n, затем умножить на число частей | 3/8 от 64: 64 : 8 · 3 = 24 |
| m/n числа a | a · m/n | 3/8 от 64: 64 · 3/8 = 24 |
| Часть числа, заданную смешанной дробью | Перевести смешанное число в неправильную дробь и умножить на a | 1 1/4 от 36: 36 · 5/4 = 45 |
Задача 1. Найти 1/5 от 35. Дробь 1/5 означает одну из пяти равных частей числа 35. Поэтому не нужно брать несколько частей: достаточно разделить 35 на знаменатель 5. Полученное частное и будет размером одной пятой.
Ответ: 7.
Задача 2. Найти 3/8 от 64. Здесь нужно взять не одну восьмую, а три восьмых. Сначала выясним, сколько приходится на одну восьмую числа 64, а затем возьмём три такие части. Это можно записать двумя действиями или сразу умножить 64 на дробь 3/8.
Ответ: 24.
Задача 3. Найти 1 1/4 от 36. Смешанная дробь 1 1/4 больше единицы: она означает целое число и ещё четверть от него. Поэтому результат должен быть больше 36. Для вычисления представим смешанное число неправильной дробью и умножим на неё 36.
Ответ: 45.
Иногда исходное число умножают на знаменатель. Так происходит, если знаменатель принимают за число частей, которые нужно взять, хотя он показывает, на сколько частей делят целое. Проверь себя: сначала найди размер одной части делением на знаменатель. Умножение на него обычно увеличило бы число, хотя одна доля должна быть меньше целого.
Другая ошибка — делить на числитель, а затем умножать на знаменатель. Числитель отвечает за количество частей, а знаменатель — за размер одной части, поэтому такие действия меняют их роли местами. Сверь порядок с записью дроби: знаменатель стоит внизу и задаёт деление, числитель — сверху и показывает, сколько частей взять. Полезно проговорить смысл дроби, например: «три части из восьми».
После деления на знаменатель иногда забывают умножить результат на числитель. Тогда находят только одну часть, даже если требуется несколько. Чтобы проверить себя, сравни число частей в условии с выполненными действиями: для 3/8 должны быть учтены все три восьмые. Если в вычислении осталось только деление на 8, решение не закончено.
Некоторые считают, что дробная часть всегда меньше исходного числа. Это верно для положительного числа, если дробь меньше единицы, но неверно для неправильной или смешанной дроби, превышающей единицу. Перед вычислением сравни дробь с 1, а после вычисления — результат с исходным числом. Например, при нахождении 5/4 числа ответ должен быть больше этого числа.
Для нахождения части числа нужны навыки деления натуральных чисел и понимание обыкновенной дроби: знаменатель и числитель описывают равные части целого. Полезно также уметь находить дробь от единицы, потому что число делят на знаменатель именно для определения размера одной доли. Эти знания соединяют смысл дроби с обычными действиями умножения и деления.
Умение находить часть числа пригодится в задачах на доли, проценты и величины. Например, так можно вычислить, сколько составляет заданная доля длины или количества предметов. Тот же принцип встречается в пропорциональных отношениях, когда несколько величин меняются в одном и том же отношении. Сначала важно понять, какая часть требуется, а затем выбрать вычисление.
Почему при нахождении части числа делят на знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Поэтому, чтобы найти размер одной такой части, исходное число делят на знаменатель.
Что показывает числитель дроби в задаче на нахождение части числа?
Числитель показывает, сколько равных частей нужно взять. Сначала находят одну часть, а затем умножают её размер на числитель.
Можно ли сразу умножить число на дробь?
Да. Нахождение m/n числа a записывают так: a · m/n. Это то же самое, что сначала разделить a на n, а результат умножить на m.
Как найти часть числа, если дробь неправильная?
Неправильную дробь используют так же: умножают на неё исходное число. Можно также представить дробь смешанным числом, чтобы было легче понять размер результата.
Почему ответ иногда получается больше исходного числа?
Так бывает, если заданная дробь больше единицы. Например, 1 1/4 числа означает взять целое число и ещё четверть от него, поэтому результат больше исходного числа.
1.9. Нахождение части числа
