1.8. Дроби. Нахождение части числа

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, которая обозначает частное a : b, где b ≠ 0. Например, запись 3/5 означает, что число 3 делят на 5. Дробь позволяет записывать не только целые числа, но и их части.

Числитель дроби — число, записанное над дробной чертой. Он показывает, сколько равных долей рассматривают или берут. По числителю можно понять, сколько частей целого нужно объединить.

Знаменатель дроби — число под дробной чертой. Он показывает, на сколько равных долей разделено целое. Благодаря знаменателю видно, какова величина каждой доли: чем больше частей у целого, тем меньше каждая часть.

Часть числа — результат деления числа на равные доли и взятия указанного количества этих долей. Например, чтобы найти три пятых числа, сначала узнают размер одной пятой, а затем берут три такие доли. Это понятие помогает переводить условие задачи в вычисления.

Как это устроено

Чтобы разделить целое на доли, его мысленно или практически делят на несколько частей одинаковой величины. Именно равенство частей позволяет называть их долями одного целого. Число частей записывают в знаменателе: если целое разделили на пять равных частей, каждая часть составляет одну пятую.

Дробь a/b связана с делением, потому что она означает частное a : b. Например, 3/5 — это результат деления трёх на пять, а 1/5 — результат деления единицы на пять. Поэтому дроби можно понимать как числа, полученные делением, и использовать при вычислениях.

Одну долю числа находят делением на знаменатель. Если число разделить на b равных частей, то размер каждой части равен одной b-й доле этого числа. Например, деление 20 на 4 показывает, сколько приходится на одну четверть числа 20.

Чтобы найти несколько долей, сначала делят число на знаменатель, а затем умножают частное на числитель. Деление находит размер одной доли, а умножение показывает, сколько таких долей нужно взять. Например, для трёх долей результат деления умножают на 3.

Нахождение дроби от числа можно записать и как умножение числа на дробь: N : b · a = N · a/b. Это равенство следует из смысла дроби: умножить на a/b — значит взять a долей из b равных долей числа. Проверить ответ помогает оценка его размера: у положительного числа правильная дробь даёт часть меньше целого, а неправильная может дать часть, равную целому или превышающую его.

Нахождение части числа

В таблице собраны действия для разных вопросов о долях. Сначала найди строку, которая соответствует условию, затем выполни указанные действия с числами задачи. В последнем столбце показан общий вид вычисления.

Разбор задач

Найти 1/4 от 20. Числитель равен 1, значит, требуется одна доля, а знаменатель 4 указывает, что целое делят на четыре равные части. Поэтому достаточно выполнить деление 20 на 4.

1. Разделим число на знаменатель: 20 : 4 = 5.
2. Так как числитель равен 1, дополнительное умножение не требуется.
3. Проверим: четыре доли по 5 составляют 20.

Ответ: 5.

Найти 3/5 от 40. Знаменатель 5 показывает, что число нужно разделить на пять равных долей, а числитель 3 — что надо взять три из них. Сначала найдём одну долю, а потом сложим три одинаковые доли умножением.

1. Найдём одну пятую числа: 40 : 5 = 8.
2. Возьмём три такие доли: 8 · 3 = 24.
3. Проверим: пять долей по 8 дают 40, а три доли меньше пяти.

Ответ: 24.

В коробке 72 карандаша. Три восьмых всех карандашей раздали. Сколько карандашей раздали? Здесь целое — все 72 карандаша, а требуется найти 3/8 этого количества. Значит, сначала определим число карандашей в одной восьмой, а затем узнаем количество в трёх таких долях.

1. Разделим все карандаши на восемь равных частей: 72 : 8 = 9.
2. Найдём три такие части: 9 · 3 = 27.
3. Проверим ответ: 27 меньше 72, как и должно быть для трёх восьмых целого.

Ответ: раздали 27 карандашей.

Типичные ошибки

• Умножают число на знаменатель вместо деления. Так происходит, если знаменатель принимают за количество долей, которые нужно взять, но он задаёт число частей, на которые делят целое. Проверь себя: для одной доли число должно быть разделено на знаменатель.

• Делят число на числитель, а затем умножают на знаменатель. Порядок перепутан, потому что смысл чисел в дроби не был соотнесён с действиями: сначала находят размер одной доли по знаменателю, потом берут нужное количество по числителю. Проверь, что делишь именно на число под дробной чертой.

• После деления на знаменатель забывают умножить на числитель. Тогда находят только одну долю, хотя задача может спрашивать несколько. Проверь, сколько долей требуется взять: если числитель больше 1, после деления нужно умножить частное на него.

• Считают, что дробь от числа всегда больше самого числа. Ошибка возникает, если не сравнить числитель со знаменателем: правильная дробь меньше 1, а неправильная может быть не меньше 1. Проверь результат оценкой: для положительного числа правильная дробь должна дать часть меньше исходного числа.

Связь с другими темами

Для нахождения части числа нужны навыки деления и умножения натуральных чисел, а также понимание деления на равные части. Представление дроби как частного связывает эту тему с делением и помогает в дальнейшем сравнивать дроби и выполнять действия с ними. Способ нахождения дроби от числа пригодится в задачах о долях величин и процентах.

Что запомнить

• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое.
• Числитель показывает, сколько таких частей взято.
• Чтобы найти одну долю числа, раздели число на знаменатель.
• Чтобы найти дробь от числа, раздели число на знаменатель и умножь на числитель.
• Нахождение дроби от числа можно записать умножением числа на эту дробь.
• Проверь, соответствует ли ответ размеру искомой части.