1.20. Какую часть одно число составляет от другого

Определения и обозначения

Когда спрашивают, какую часть число a составляет от числа b, нужно определить, во сколько раз число a меньше или больше числа b, то есть найти их отношение. Отношением чисел называют частное этих чисел: a : b. Такая запись помогает сравнивать числа и выражать одно через другое, например указывать долю или меру сравнения.

Частное a и b можно записать обыкновенной дробью a/b, где b ≠ 0. Знак ≠ означает «не равно», поэтому делить на ноль нельзя. В дроби a/b числитель a — это число, часть которого ищут, а знаменатель b — число, с которым сравнивают. По этой записи легко увидеть порядок чисел и выполнить деление.

Дробь a/b служит ответом на вопрос о части: числитель показывает сравниваемое число, а знаменатель — целое, от которого находят часть. Например, в дроби 3/12 число 3 сравнивают с 12. Это уточнение нужно, чтобы не перепутать числа местами и правильно понять, что именно выражает результат.

Как это устроено

Чтобы понять правило, представим число b как целое. Если разделить это целое на b равных частей, каждая часть будет равна 1/b. Число a состоит из a таких единичных частей, поэтому оно составляет от b дробь a/b. Так вопрос о доле превращается в деление сравниваемого числа на целое.

Правило формулируется так: чтобы найти, какую часть число a составляет от числа b, нужно a разделить на b. Это порядок не произвольный: делимое отвечает на вопрос «какое число сравниваем?», а делитель задаёт целое, с которым сравнивают. Поэтому число, от которого находят часть, записывают в знаменателе дроби.

Частное удобно записывать обыкновенной дробью: вместо деления a : b пишут a/b. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же ненулевое число, дробь можно сократить. Например, 6/18 = 1/3, потому что и 6, и 18 разделили на 6; значение ответа при этом не изменилось.

Искомая часть не обязательно меньше единицы. Если a меньше b, то дробь a/b меньше 1; если a равно b, получится 1; если a больше b, ответ будет больше 1. Например, 3/12 = 1/4 меньше единицы, 10/10 = 1, а 15/10 = 3/2 больше единицы. Это показывает, что дробь описывает сравнение, а не только долю, меньшую целого.

Делитель b должен быть отличен от нуля, иначе частное не определено. Для величин также необходимо, чтобы деление сравнивало одинаковые единицы: сантиметры следует делить на сантиметры, а минуты — на минуты. Поэтому перед вычислением, например, сантиметры и метры переводят в одну единицу. Иначе полученное частное не будет корректно показывать отношение величин.

Как найти, какую часть одно число составляет от другого

В таблице собраны основные ситуации: сначала найдите формулировку задачи, затем определите, какие числа делить и как оформить результат. Для величин проверьте единицы измерения и при необходимости выполните перевод до деления. После вычисления дробь можно сократить, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.

Разбор задач

Задача 1. Какую часть число 5 составляет от числа 20? Здесь сравнивают 5 с 20, поэтому 5 нужно поставить в числитель, а 20 — в знаменатель. Поскольку 5 меньше 20, можно заранее ожидать ответ меньше единицы.

1. Записываем отношение: 5/20.
2. Делим числитель и знаменатель на 5: 5/20 = 1/4.
3. Проверяем смысл: 20 делится на четыре равные части по 5, значит, 5 — одна такая часть.

Ответ: число 5 составляет 1/4 от числа 20.

Задача 2. Какую часть 45 минут составляет от 3 часов? Числа выражены в разных единицах, поэтому нельзя сразу составлять дробь 45/3. Переведём часы в минуты, чтобы обе величины обозначали минуты, и только потом найдём отношение.

1. Переводим 3 часа в минуты: 3 · 60 = 180 минут.
2. Составляем дробь: 45/180, потому что сравниваем 45 минут с 180 минутами.
3. Сокращаем числитель и знаменатель на 45: 45/180 = 1/4.
4. Проверяем: четверть часа — это 15 минут, а четверть трёх часов — 45 минут.

Ответ: 45 минут составляют 1/4 от 3 часов.

Задача 3. В одном ящике 18 кг яблок, а в другом 12 кг. Какую часть массы яблок во втором ящике составляет масса яблок в первом? По формулировке нужно сравнить массу первого ящика с массой второго: первое значение будет числителем, второе — знаменателем. Единицы одинаковые, поэтому перевод не требуется.

1. Записываем отношение масс: 18/12.
2. Сокращаем дробь на 6: 18/12 = 3/2.
3. Сравниваем числитель и знаменатель: 18 больше 12, поэтому отношение больше единицы.
4. Проверяем смысл: масса первого ящика в полтора раза больше массы второго.

Ответ: масса яблок в первом ящике составляет 3/2 массы яблок во втором.

Типичные ошибки

• Меняют числа местами. Тогда получают отношение b/a вместо a/b, потому что не выделяют, какое число сравнивают и от какого находят часть. Прочитайте условие и спросите себя: «Какую величину ищут?» Она должна оказаться в числителе.
• Считают, что ответ всегда меньше 1. Так бывает, когда слово «часть» воспринимают только как долю целого, но сравниваемое число может быть больше целого. Проверьте числа: если a > b, дробь a/b больше единицы.
• Делят величины в разных единицах. Например, запись 50/2 для 50 см и 2 м не учитывает, что метр содержит 100 сантиметров. Сначала переведите величины в одинаковые единицы, а затем составьте дробь.
• Пытаются делить на ноль. Это невозможно, потому что деление на ноль не имеет смысла. Проверьте число, от которого находят часть: оно стоит в знаменателе, и оно должно быть ненулевым.

Связь с другими темами

Чтобы находить отношение, нужно уметь делить натуральные числа и записывать частное обыкновенной дробью. Также пригодятся сокращение дробей и перевод величин в одинаковые единицы: эти действия помогают получить удобный и осмысленный ответ. Позже отношение чисел встретится в задачах на проценты и масштаб, а также при сравнении величин. Например, масштаб показывает отношение длины на изображении к настоящей длине.

Что запомнить

• Чтобы узнать, какую часть a составляет от b, нужно a разделить на b.
• В дроби a/b число a — сравниваемое, а число b — то, с которым его сравнивают.
• Число в знаменателе не должно быть равно нулю.
• Перед делением величин их нужно выразить в одинаковых единицах.
• Искомая часть может быть меньше, равна или больше 1.
• Полученную дробь можно сократить.