1.21. Решение задач

Определения и обозначения

Текстовая задача — описанная словами ситуация, в которой по известным данным требуется найти неизвестную величину. Например, в задаче о коробках могут быть известны количество предметов в одной коробке и число коробок. Это понятие помогает отличить задачу от простого примера: здесь нужно сначала разобраться в ситуации и выбрать подходящий способ вычисления.

Условие задачи — сведения о величинах и связях между ними, которые даны в тексте. В условии может быть сказано, сколько предметов лежит в каждой коробке или на сколько одна величина больше другой. Если выделить эти данные отдельно, легче увидеть, что уже известно и какие сведения понадобятся для решения.

Вопрос задачи — указание, какую величину требуется найти. Он может спрашивать об общем количестве, одной части или значении для каждого из нескольких дней. Понимание вопроса помогает не остановиться на промежуточном числе и записать именно тот результат, который нужен.

Математическая модель задачи — запись ситуации с помощью арифметических действий, выражения, схемы или уравнения. Например, равные группы можно представить умножением, а неизвестное число — буквой в уравнении. Модель нужна, чтобы перейти от слов к математическим действиям, сохранив смысл исходной ситуации.

Как это устроено

Перед вычислениями нужно понять, какие величины даны и что требуется найти. Иначе можно правильно посчитать известные числа, но получить величину, о которой задача не спрашивает. Прочитай условие целиком, затем найди вопрос и своими словами перескажи, что надо узнать. Такой шаг связывает будущие вычисления с целью решения.

Чтобы выделить известное и неизвестное, отмечай в тексте названия величин и числа, которые к ним относятся. Неизвестным может быть не только число, но и величина, например путь, цена или количество предметов. Затем выясни, какие отношения сообщены: равны ли величины, отличаются ли на несколько единиц, составляют ли части целое. Это помогает не перепутать числа и увидеть, какие данные связаны друг с другом.

Представить условие можно краткой записью, схемой, выражением или уравнением. Краткая запись удобна, когда нужно расположить данные по строкам, а схема — когда важно наглядно показать части и целое или сравнить величины. Выражение подходит, если связь уже понятна и можно записать вычисления без отдельного неизвестного. Уравнение выбирают, когда неизвестное удобно обозначить буквой и связать с известными величинами равенством.

Действия выбирают по смыслу отношений, а не по отдельным словам. Если несколько одинаковых групп объединяют, общее количество находят умножением; если известно общее количество равных частей, для нахождения одной части используют деление. При сравнении важно понять, что именно означает разность, а при задаче в несколько шагов — определить, какой результат нужен для следующего действия. После этого составь короткий план: какие величины найти сначала и как использовать их дальше.

После вычислений проверь результат по условию, потому что арифметическая ошибка и неверно понятый смысл могут привести к неподходящему ответу. Подставь найденные величины в описанные отношения: например, проверь, дают ли части нужную сумму или действительно ли одна величина больше другой на указанное число. Сверь результат с вопросом и убедись, что он разумен. Ответ записывай с названием величины и единицей измерения, если она указана.

Этапы решения текстовой задачи

Пользуйся таблицей как последовательной памяткой: переходи к следующему этапу, когда разобрался с предыдущим. Если при проверке результат не согласуется с условием, вернись к модели и выясни, верно ли выбрано действие. Такая последовательность помогает найти место ошибки, а не начинать решение заново наугад.

Разбор задач

Задача 1. В одной коробке 8 карандашей. Сколько карандашей в трёх таких коробках? Сначала заметим, что коробки одинаковые, значит, в каждой находится одна и та же группа из 8 карандашей. Требуется найти общее количество в трёх группах, поэтому удобно умножить количество в одной коробке на число коробок.

1. В одной коробке — 8 карандашей, коробок — 3.
2. Запишем модель: 8 · 3.
3. Вычислим: 8 · 3 = 24.
4. Проверим смысл результата: в трёх коробках карандашей должно быть больше, чем в одной, и 24 больше 8.

Ответ: 24 карандаша.

Задача 2. В двух одинаковых пачках 24 тетради. Сколько тетрадей в одной пачке? Общее количество уже известно, а пачки содержат равное число тетрадей. Чтобы найти одну из двух равных частей целого, нужно общее количество разделить на число пачек.

1. Всего — 24 тетради, пачек — 2.
2. Запишем модель: 24 : 2.
3. Вычислим: 24 : 2 = 12.
4. Проверим: если в каждой из двух пачек по 12 тетрадей, то всего 12 · 2 = 24.

Ответ: 12 тетрадей в одной пачке.

Задача 3. За два дня турист прошёл 36 км. Во второй день он прошёл на 4 км больше, чем в первый. Сколько километров он прошёл в каждый день? Неизвестны оба пути, но путь второго дня выражается через путь первого. Обозначим путь в первый день буквой x, тогда во второй день турист прошёл x + 4 км, а вместе — 36 км.

1. Пусть x — путь в первый день; тогда x + 4 — путь во второй день.
2. Составим уравнение по общему пути: x + (x + 4) = 36.
3. Упростим и решим: 2x + 4 = 36, 2x = 32, x = 16.
4. Найдём путь во второй день: 16 + 4 = 20 км.
5. Проверим: 16 + 20 = 36, а 20 − 16 = 4.

Ответ: в первый день турист прошёл 16 км, во второй — 20 км.

Типичные ошибки

Ошибка — начинать считать, не выяснив, что требуется найти. Так можно получить верное число, но оно окажется промежуточным или будет отвечать на другой вопрос. Обычно это происходит, когда ученик сразу замечает знакомые числа и выбирает действие наугад. Перед вычислениями подчеркни вопрос и сформулируй, какая величина должна получиться в ответе.

Неверно выбирать действие только по отдельному слову в условии. Одно и то же слово может встречаться в разных ситуациях, а нужное действие определяется отношением величин, а не словарной подсказкой. Такая ошибка возникает, если не представить, что происходит с предметами или числами. Проверь выбор с помощью краткой записи или схемы: действие должно описывать именно эту связь.

При составлении уравнения нельзя оставлять неизвестное без пояснения и не объяснять связь величин. Тогда трудно понять, что обозначает буква и почему равенство соответствует задаче. Ошибку часто допускают, стремясь быстрее перейти к вычислениям. Сначала запиши, что обозначает неизвестное, вырази через него другие величины и проверь, соответствует ли уравнение условию.

Ответ без проверки и наименования величины может быть непонятным или противоречить условию. Например, число само по себе не сообщает, сколько это километров, тетрадей или дней. Часто проверку пропускают, считая её ненужной после получения результата. Подставь значения в условие, сверь их с вопросом и запиши ответ с названием величины.

Связь с другими темами

Для решения текстовых задач нужны навыки арифметических действий и понимание того, какие отношения они описывают. Умножение и деление, сложение и вычитание помогают переводить связи между величинами в вычисления. Поэтому важно не только знать правила действий, но и понимать их смысл.

Краткая запись и схемы связывают текст с его математической моделью. Они помогают расположить данные в удобном порядке и заметить отношения, которые трудно удержать в памяти при чтении длинного условия. Такие способы представления особенно полезны перед составлением выражения или уравнения.

Перевод текста в математическую модель пригодится при решении уравнений и задач на движение, покупки и совместную работу. В каждом таком случае нужно выделить величины, установить связь между ними и записать её математически. Чем точнее составлена модель, тем понятнее дальнейший план решения.

Что запомнить

• Сначала выясни, что известно и что требуется найти.
• Связывай данные задачи с её вопросом.
• Выбирай действие по смыслу ситуации, а не по отдельному слову.
• Математическая модель помогает перейти от текста к вычислениям.
• Проверь, подходит ли результат условию.
• В ответе укажи найденную величину и её наименование.