2.19. Решение задач

Определения и обозначения

Текстовая задача — описание жизненной ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину. Иными словами, задача переводит знакомую ситуацию на язык чисел и отношений между ними. Это определение помогает увидеть, что для решения недостаточно просто выполнить вычисление: сначала нужно понять смысл описанного.

Условие задачи — сведения об известных величинах и связях между ними. В условии могут быть числа, единицы измерения и слова, показывающие отношения: «на несколько больше», «в несколько раз меньше», «всего». Выделив эти сведения, легче понять, какие данные понадобятся для ответа и как они связаны.

Требование задачи — вопрос, на который нужно ответить. Он подсказывает, какую именно величину следует найти, например общее расстояние или оставшееся количество. Если не заметить требование, можно верно посчитать промежуточную величину, но не решить задачу.

Математическая модель — схема, выражение, уравнение или другая математическая запись ситуации из задачи. Модель сохраняет важные связи между величинами, но делает их нагляднее и удобнее для вычислений. Она нужна, чтобы перейти от словесного описания к последовательному решению.

Как это устроено

Сначала отдели известные данные от неизвестного: перечитай условие и отдельно сформулируй вопрос. Число может быть известно, но не относиться напрямую к искомой величине, поэтому одного списка чисел недостаточно. Полезно подписать величины словами и единицами измерения: так становится яснее, что именно обозначает каждое данное. Когда вопрос сформулирован своими словами, легче понять, к какому результату должны привести вычисления.

До выбора действия нужно установить связи между величинами, потому что одни и те же числа могут описывать разные отношения. Например, «на 5 больше» означает прибавить 5 к исходной величине, а «в 5 раз больше» — умножить её на 5. Если начать считать, не разобравшись в связи, можно получить правдоподобное число, которое не отвечает условию. Сначала определи, как величины соотносятся, и только потом выбирай сложение, вычитание, умножение, деление или уравнение.

Краткая запись, таблица, схема или рисунок помогают представить условие, потому что показывают данные не только в виде длинного текста. В записи удобно перечислить величины и отметить, какие из них известны; таблица помогает сравнивать несколько объектов или этапов. Схема показывает отношения наглядно, например части и целое или последовательные изменения. Выбирай тот вид записи, который делает связи понятнее, а не усложняет задачу.

Когда отношения ясны, составь математическую модель: запиши выражение для последовательных действий или уравнение, если величина неизвестна. Например, если неизвестное обозначено x, то слова условия нужно перевести в равенство, сохранив порядок и смысл связей. Реши полученную запись обычными математическими способами. После этого объясни, какая величина найдена: само число без связи с вопросом ещё не является полным решением.

Проверка нужна, потому что вычислительная ошибка или неверная модель могут привести к результату, который не подходит ситуации. Подставь найденное значение в условие или проверь его обратным действием и убедись, что все связи выполняются. Затем сравни результат с вопросом: найдено ли именно то, о чём спрашивали, и не противоречит ли ответ данным. Запиши полный ответ словами и при необходимости укажи единицу измерения.

Этапы решения текстовой задачи

Двигайся по таблице сверху вниз: следующий этап опирается на результат предыдущего. Если на шаге вычисления стало непонятно, какое действие выполнять, вернись к анализу связей или к модели. Такая проверка помогает заметить, где именно возникло затруднение.

Разбор задач

Задача: в коробке было 24 карандаша, 9 карандашей взяли. Сколько карандашей осталось? Известно начальное количество — 24, а взято 9; требуется найти оставшееся количество. Поскольку предметы убрали из коробки, нужно определить остаток, а не общее число предметов до этого. Запишем решение по смыслу изменения количества.

1. Обозначим величины: было 24 карандаша, взяли 9 карандашей, осталось — неизвестно.
2. Связь между ними такая: оставшееся количество равно тому, что было, минус то, что взяли.
3. Составим выражение: 24 − 9 = 15. Проверим: 15 оставшихся и 9 взятых вместе дают исходные 24.

Ответ: в коробке осталось 15 карандашей. Единицу измерения указываем, потому что вопрос о количестве предметов. Проверка подтверждает, что ответ подходит условию.

Задача: в первый день турист прошёл 12 км, во второй — на 5 км больше, а в третий — на 4 км меньше, чем во второй. Сколько километров он прошёл за три дня? Здесь требуется общий путь, но известна напрямую только длина пути в первый день. Поэтому сначала найдем путь во второй день, затем — в третий, и только после этого сложим три результата.

1. Во второй день турист прошёл на 5 км больше, чем в первый: 12 + 5 = 17 км.
2. В третий день он прошёл на 4 км меньше, чем во второй: 17 − 4 = 13 км.
3. Найдём путь за три дня: 12 + 17 + 13 = 42 км. Проверим, что каждое слагаемое относится к одному из дней, а все три дня учтены.

Ответ: за три дня турист прошёл 42 км. Последовательная краткая запись не позволяет перепутать, с каким днём сравнивается каждый следующий путь. Важно, что «на 4 км меньше» относится ко второму дню, а не к первому.

Задача: после увеличения числа на 18 его значение стало в 3 раза больше исходного. Найти исходное число. Неизвестное число обозначим буквой x. После увеличения оно стало x + 18, а «в 3 раза больше исходного» означает 3x; значит, эти выражения равны.

1. Составим уравнение: x + 18 = 3x.
2. Перенесём неизвестные в одну сторону: 18 = 3x − x, значит, 18 = 2x.
3. Разделим обе части на 2: x = 9. Проверим: 9 + 18 = 27, а 3 · 9 = 27.

Ответ: исходное число — 9. Подстановка показывает, что увеличение на 18 действительно даёт число, в три раза большее исходного. Здесь уравнение помогает найти величину, которая не дана напрямую.

Типичные ошибки

• Ученик начинает считать, не выяснив, что требуется найти. Так происходит, когда внимание сосредоточено на числах, а вопрос пропущен; поэтому можно найти промежуточное значение вместо ответа. Перед вычислениями сформулируй вопрос своими словами и после решения сверь с ним результат.

• Величины складывают или вычитают только потому, что рядом стоят нужные числа. Ошибка возникает, если не учесть, описывает ли задача увеличение, остаток, сравнение или другую связь, а также забыть про единицы измерения. Проверь, объясняет ли выбранное действие ситуацию и можно ли складывать именно эти величины.

• Уравнение или схема записаны неверно, потому что слова условия переведены в математические знаки без проверки смысла. Например, отношения «на несколько больше» и «в несколько раз больше» обозначаются по-разному. Прочитай модель вслух, сопоставь каждую её часть с условием и подставь найденное значение обратно.

• В ответе записано только число или результат не проверен. Это часто происходит, когда вычисление принимают за завершение задачи и забывают, что найденное число должно соответствовать вопросу и данным. Укажи, что именно найдено, добавь единицу измерения и проверь результат обратным действием или подстановкой.

Связь с другими темами

Для решения текстовых задач нужны умения читать условие, выполнять арифметические действия, работать с единицами измерения и решать простые уравнения. Краткая запись связывает работу с выражениями, пропорциями, таблицами и графическими схемами: всё это помогает представить отношения между величинами. Тот же подход пригодится в задачах на проценты, движение, работу, смеси и геометрические величины. Позже он станет основой для решения алгебраических задач, где зависимости между величинами записывают с помощью выражений и уравнений.

Что запомнить

• Сначала нужно понять условие и вопрос задачи.
• Известные и неизвестные величины удобно обозначать краткой записью или схемой.
• Математическая модель должна сохранять связи, описанные в условии.
• Выбор действия определяется смыслом ситуации, а не только расположением чисел.
• После решения нужно проверить полученный результат.
• Ответ записывают словами и указывают единицу измерения, если она есть.