2.20. Точные и приближённые значения величин

Определения и обозначения

Точное значение величины — значение, которое совпадает с самой величиной и не получено округлением. Например, если в коробке пересчитали карандаши и их оказалось 24, количество карандашей равно 24 точно. Подсчёт позволяет указать каждый предмет, поэтому здесь не требуется оценивать результат. Понятие точного значения помогает отличать результат подсчёта от оценки или измерения.

Приближённое значение величины — значение, близкое к точному и используемое вместо него, когда точное значение неизвестно или неудобно. Так можно сказать, что длина карандаша составляет около 18 см. Это число подходит для практической задачи, хотя при более точном измерении длина может оказаться немного другой. Понятие нужно, чтобы не принимать удобную оценку за абсолютно точный результат.

Округление числа — замена числа ближайшим числом с заданным разрядом. Разряд — это место цифры в записи: единицы, десятые, сотые и другие. Чтобы округлить число до нужного разряда, смотрят на следующую справа цифру: при цифре меньше 5 сохраняемую цифру не меняют, при 5 или больше увеличивают на единицу. Это правило позволяет одинаково получать приближённые числа и понимать, какие цифры в записи сохраняются.

Погрешность приближённого значения — расхождение между приближённым и точным значениями. Например, измеренная длина может отличаться от истинной на небольшую величину. Чем точнее прибор и аккуратнее измерение, тем обычно меньше погрешность; округление до более крупного разряда тоже может увеличить расхождение. Понимание погрешности помогает оценивать, насколько близок результат к действительной величине.

Как это устроено

Некоторые величины можно получить подсчётом: пересчитать книги, карандаши или учеников. Если подсчёт выполнен без пропусков и повторов, результат точен, потому что каждому предмету соответствует одна единица счёта. Длину, массу или температуру обычно не считают по отдельным одинаковым частям, а измеряют прибором. Поэтому число книг можно указать точно, а измеренная длина чаще выражается приближённо.

Прибор не показывает значение с бесконечной подробностью: линейка, например, имеет деления определённого размера. Если конец предмета оказался между делениями, приходится оценивать его положение. На результат также могут повлиять угол взгляда, положение предмета и аккуратность измеряющего. Поэтому показание описывает величину с доступной точностью, а не обязательно совпадает с ней абсолютно.

Приближённое значение записывают с учётом того, что оно может отличаться от точного. Знак равенства «=» утверждает, что две величины равны точно, а знак «≈» читают «приближённо равно». Например, если длину измерили и получили около 6,4 см, записывают: длина ≈ 6,4 см. Такая запись предупреждает читателя, что значение получено измерением и его точность ограничена.

Округление выполняют по шагам. Сначала определяют нужный разряд, например десятые, и оставляют цифру, стоящую в этом разряде. Затем смотрят на следующую справа цифру: если она меньше 5, остальные цифры отбрасывают, не меняя сохраняемую; если она равна 5 или больше, сохраняемую цифру увеличивают на единицу. Так число 7,368 при округлении до десятых станет 7,4, потому что следующая цифра — 6.

Одна и та же величина может быть записана с разной точностью. Если число 7,368 округлить до десятых, получится 7,4, а до сотых — 7,37: во втором случае в записи сохранено больше разрядов. Большее число сохранённых разрядов не всегда гарантирует верное измерение, если сам прибор недостаточно точен. Но при одном и том же исходном результате округление до более мелкого разряда обычно даёт более близкое приближение.

Точные и приближённые значения величин

Чтобы определить тип значения, сначала выясните, как его получили: подсчитали, измерили или округлили. Затем проверьте, показывает ли запись точное равенство или приблизительный результат. Таблица помогает быстро сравнить эти признаки, но в конкретной задаче нужно учитывать способ получения числа.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какое значение точное, а какое приближённое: в коробке 24 карандаша; длина карандаша составляет 18 см. В первом случае говорится о количестве предметов, которое можно пересчитать. Во втором дана длина, полученная измерением линейкой, точность которой ограничена делениями.

1. Количество карандашей получают подсчётом каждого предмета. Если коробку пересчитали правильно, значение 24 точное.
2. Длину получают измерением, а линейка не позволяет установить её безгранично точно. Поэтому 18 см — приближённое значение.

Ответ: 24 карандаша — точное значение; 18 см — приближённое.

Задача 2. Округлите число 7,368 до десятых и до сотых. Сначала отметим, какую цифру нужно сохранить в каждом случае, а затем посмотрим на следующую цифру справа. Именно она определит, оставляем ли цифру без изменения или увеличиваем её на единицу.

1. До десятых сохраняем цифру 3 в числе 7,368. Следующая цифра — 6, она не меньше 5, поэтому 3 увеличиваем до 4 и получаем 7,4.
2. До сотых сохраняем цифру 6. Следующая цифра — 8, значит, 6 увеличиваем до 7 и получаем 7,37.

Ответ: до десятых — 7,4; до сотых — 7,37.

Задача 3. Длина отрезка, измеренная линейкой, равна примерно 6,4 см. Запишите значение со знаком приближённого равенства и объясните, почему оно не является точным. Слова «примерно» указывают, что это не точное равенство. Кроме того, показание измерительного прибора зависит от размера делений и точности измерения.

1. Обозначим длину отрезка буквой l и запишем показание со знаком приближённого равенства: l ≈ 6,4 см.
2. Не заменяем ≈ знаком =, потому что линейка даёт результат с ограниченной точностью. Между делениями может оставаться часть сантиметра, которую прибор не показывает точно.

Ответ: l ≈ 6,4 см; это приближённое значение, так как оно получено измерением линейкой.

Типичные ошибки

Нельзя ставить знак равенства между точным и округлённым значениями, если округление изменило число. Эту ошибку допускают, потому что результат выглядит достаточно близким к исходному. Проверьте себя: сравните числа до и после округления; если они различаются, используйте знак ≈, а не =.

При округлении нельзя решать, оставить ли цифру, только по цифре нужного разряда. Она показывает, что сохраняется, а решение зависит от следующей цифры справа. Ошибка возникает, когда забывают второй шаг алгоритма. Проверьте себя, указав рядом обе цифры: сохраняемую и следующую за ней.

Десятичная запятая сама по себе не означает, что значение приближённое. Например, число предметов или значение, точно заданное условием, может быть записано десятичной дробью. Путаница появляется из-за того, что многие измерения записывают именно так. Чтобы проверить тип значения, выясните не форму записи, а способ его получения.

Измеренное значение не следует записывать как абсолютно точное. Даже если показание выглядит ясным, прибор имеет деления, а условия измерения могут влиять на результат. Такую запись часто принимают за точную, потому что на шкале видна конкретная цифра. Проверьте себя: если значение получено измерением, учитывайте ограниченную точность и при необходимости используйте знак ≈.

Связь с другими темами

Чтобы округлять числа, нужно уверенно читать десятичную запись и различать разряды: десятые, сотые и другие. Знание правил сравнения чисел помогает понять, какое из двух значений ближе к исходному и как меняется результат при округлении. Эти умения пригодятся в задачах, где нужно оценивать длину, массу или другие величины. Приближения также используют при округлении результатов вычислений и в практических расчётах.

Что запомнить

• Подсчёт предметов часто даёт точное значение, а измерение — приближённое.
• Знак «≈» означает «приближённо равно».
• При округлении смотрят на цифру, следующую за сохраняемым разрядом.
• Если следующая цифра меньше 5, сохраняемую цифру не меняют.
• Если следующая цифра равна 5 или больше, сохраняемую цифру увеличивают на единицу.
• Чем крупнее разряд, до которого округляют, тем грубее обычно получается приближение.