"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Решение задачи — это переход от описания жизненной ситуации к математической модели и обоснованному ответу. Нужно понять, какие величины известны, что требуется найти и как они связаны. Для этого используют краткую запись, схемы, таблицы, выражения и уравнения. Главное — выбирать действия по смыслу условия, проверять полученный результат и указывать наименование найденной величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Задача — это описание ситуации, в которой есть известные и неизвестные величины, связанные между собой. Нужно определить, что требуется найти, и объяснить, каким будет ответ. Такое понимание помогает отличить задачу от набора отдельных чисел.
Условие задачи — сведения и отношения между величинами, сообщённые в тексте. В нём выделяют данные, вопрос и слова, описывающие связи; лишние слова не участвуют в вычислениях. Это нужно, чтобы опираться на смысл ситуации, а не просто переписывать числа.
Вопрос задачи — то, что требуется найти. Его формулируют точно до начала вычислений, потому что от него зависит выбор величины и порядок действий. Один и тот же набор данных может использоваться для разных вопросов.
Математическая модель задачи — краткое описание ситуации с помощью схемы, таблицы, выражения или уравнения. Модель переводит текст на математический язык и показывает связи между величинами. По ней проще составить решение и проверить, не пропущена ли часть условия.
Решение начинают с внимательного чтения условия. Нужно представить описанную ситуацию, понять смысл каждой величины и её единицы измерения; если связь неясна, текст перечитывают. Такой шаг предотвращает вычисления с числами, смысл которых остался непонятным.
Затем данные связывают с вопросом. Краткая запись, схема или таблица показывают, что известно, что неизвестно и какие величины относятся друг к другу. Благодаря этому становится заметно, каких сведений не хватает для ответа и какую промежуточную величину следует найти.
Действие выбирают по математической связи, а не по одному слову-маркеру. Например, «на 7 больше» означает прибавить 7 к известному числу, а «в 2 раза больше» — умножить на 2, но такие слова нужно соотнести со всей ситуацией. Обоснованный выбор операции защищает от механического решения по случайно замеченному слову.
Выражение или уравнение переводит условие на математический язык. Неизвестную величину можно обозначить буквой, а затем записать, как она связана с известными числами; в выражении сразу указывают нужные действия. После составления модели проверьте, отражает ли она все данные и именно тот вопрос, который задан.
Полученное значение сопоставляют с условием: проверяют размер числа, единицы измерения и выполнение исходных отношений. Если результат возможен в описанной ситуации, его записывают как ответ с наименованием величины. Одно вычисление без проверки и словесного ответа ещё не показывает, что задача решена полностью.
Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом: переходите к следующему этапу только после проверки предыдущего. Если результат проверки вызывает сомнение, вернитесь к условию или модели, а не исправляйте случайное действие.
| Этап | Что сделать | Как проверить |
|---|---|---|
| Понять условие | Выделить данные, вопрос и связи между величинами | Все ли данные поняты и относятся ли они к вопросу |
| Построить модель | Сделать краткую запись, схему, таблицу или уравнение | Отражены ли в модели все связи из условия |
| Выполнить решение | Выбрать и выполнить нужные действия | Обосновано ли каждое действие |
| Проверить результат | Сопоставить полученное значение с условием | Возможен ли такой результат в данной ситуации |
| Записать ответ | Ответить на вопрос задачи и указать наименование величины | Дан ли ответ именно на поставленный вопрос |
В одной коробке 18 карандашей, а в другой на 7 карандашей больше. Сколько карандашей во второй коробке? Известно число карандашей в первой коробке, а вопрос относится ко второй. Связь «на 7 больше» означает, что во второй коробке количество увеличилось на 7.
Ответ: 25 карандашей во второй коробке.
За 4 одинаковые тетради заплатили 240 рублей. Сколько стоят 7 таких тетрадей? Сначала нужно узнать стоимость одной тетради, потому что цена одной тетради связывает известные 4 штуки с требуемыми 7 штуками. Затем найденную цену умножим на новое количество.
Ответ: 420 рублей стоят 7 таких тетрадей.
В двух коробках 54 детали. В первой деталей в 2 раза больше, чем во второй. Сколько деталей в каждой коробке? Удобно обозначить число деталей во второй коробке буквой x, тогда в первой будет 2x. Общая сумма деталей записывается уравнением x + 2x = 54.
Ответ: в первой коробке 36 деталей, во второй — 18 деталей.
Вычисления без понимания вопроса. Ученик сразу выполняет действия и может получить число, которое не отвечает на поставленный вопрос. Ошибка возникает из-за желания быстрее начать считать; проверьте себя, сформулировав искомую величину своими словами.
Выбор действия по слову-маркеру. Слова «всего», «осталось» или «на сколько» помогают ориентироваться, но не заменяют понимания связи между величинами. Один и тот же оборот может встречаться в разных ситуациях, поэтому объясните, что означает действие именно здесь.
Непроверенная модель. В выражении или уравнении можно случайно пропустить данные либо перепутать отношение величин. Сопоставьте каждый член записи с частью условия и спросите себя, отражена ли вся информация.
Число без проверки и наименования. Даже верное вычисление не завершает решение, если результат неправдоподобен или непонятно, что он обозначает. Подставьте его в условие, проверьте единицы и добавьте в ответ название величины.
Для решения задач нужны навыки чтения, вычислений с изученными числами и понимание смысла сложения, вычитания, умножения и деления. Если ученик знает, что выражает каждое действие, ему легче объяснить решение. Без этого вычисления превращаются в формальный подбор операций.
Составление выражений и уравнений связывает текстовые задачи с темами о числовых выражениях и уравнениях. Текст даёт отношения между величинами, а математическая запись делает их видимыми. Поэтому умение переводить условие в модель полезно сразу в нескольких разделах математики.
Модель и проверка результата пригодятся в задачах на движение, покупки, измерения и пропорциональные отношения. В каждой такой задаче нужно установить величины и их связь, хотя формулы могут различаться. Один и тот же алгоритм помогает не потерять смысл вычислений.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала определите, какая величина нужна для ответа и какие известные данные связаны с ней непосредственно. Действие выбирают по смыслу этой связи, а не по отдельному слову в условии.
Зачем делать краткую запись, если условие и так понятно?
Краткая запись помогает увидеть данные, вопрос и отношения между величинами. С ней легче заметить, каких сведений не хватает, выбрать порядок действий и не пропустить часть условия.
Как определить, какое число обозначить неизвестным?
Обычно неизвестным обозначают величину, которую требуется найти, или одну из связанных величин, через которую удобно выразить остальные. Выбранное обозначение должно быть понятным и иметь то же наименование, что и величина.
Как проверить, что составленное уравнение соответствует условию?
Сопоставьте каждую часть уравнения с конкретным предложением или отношением из условия. После решения подставьте найденное значение и проверьте, выполняются ли все связи и получается ли указанная сумма, разность или другая величина.
Что обязательно должно быть записано в ответе?
В ответе нужно дать значение искомой величины и указать её наименование. Формулировка должна прямо отвечать на вопрос задачи, а не просто повторять последнее число из вычислений.
2.21. Решение задач
