"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
При умножении нескольких чисел скобки помогают выбрать удобный порядок вычислений. Можно сначала перемножить ту пару соседних множителей, которая даёт круглое число или простой результат: например, в выражении 4 · 25 · 7 сначала получить 100. Такая возможность основана на сочетательном свойстве умножения: оно позволяет менять группировку, не изменяя порядок множителей и значение произведения. Чтобы переставлять числа, нужно отдельное свойство — переместительное.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множитель — число, участвующее в умножении. В записи a · b числа a и b являются множителями: каждый из них задаёт, сколько раз и какое число умножают в соответствующей математической модели. Чтобы вычислить произведение, нужно учесть оба множителя. Это понятие помогает правильно читать выражения и не путать числа, которые умножают, с результатом.
Произведение — результат умножения, а также запись вида a · b. Например, в записи 3 · 4 = 12 произведение обозначает и действие 3 · 4, и его результат 12. Какой именно смысл имеется в виду, обычно понятно из задания. Различать эти значения полезно, когда нужно записать выражение или назвать ответ.
Группировка множителей — объединение нескольких множителей в скобки без изменения их порядка. Например, в выражении a · b · c можно выделить скобками пару a и b или пару b и c. Скобки показывают, что вычисляют сначала, но сами по себе не переставляют числа. Группировка помогает устроить вычисления удобнее.
Сочетательное свойство умножения — возможность менять группировку множителей, не меняя произведения. Для трёх чисел это записывают так: (a · b) · c = a · (b · c). Благодаря этому свойству можно выбирать, какие множители вычислить первыми. Оно нужно для упрощения длинных произведений.
Рассмотрим произведение 2 · 3 · 4. Если сначала умножить первые два множителя, получим (2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 24. Если сначала вычислить вторую пару, получится 2 · (3 · 4) = 2 · 12 = 24. Значение совпало, потому что оба способа дают число предметов в одинаковом произведении, хотя промежуточные вычисления различаются. Так видно, что при трёх множителях можно начать с любой пары соседних чисел.
Сочетательное свойство записывают равенством (a · b) · c = a · (b · c). Левая часть означает: сначала найти произведение a и b, а затем умножить его на c; правая — сначала умножить b на c. Равенство утверждает, что итог в обоих случаях одинаков. Поэтому скобки можно передвигать и в произведениях из большего числа множителей, сохраняя их исходный порядок.
Группировка нужна не только для записи, но и для сокращения вычислений. Например, в произведении 4 · 25 · 7 удобно сначала перемножить 4 и 25: получится 100, которое легко умножать дальше. Если считать слева направо, промежуточные результаты могут быть менее удобными. Поэтому перед вычислением стоит поискать пару, которая даёт круглое число или простое произведение.
Скобки можно использовать и тогда, когда среди множителей есть отрицательные числа, ноль или единица. Например, (−2) · 5 · (−3) можно сгруппировать как ((−2) · (−3)) · 5: произведение двух отрицательных чисел положительно. Если один из множителей равен нулю, произведение сразу равно нулю, а умножение на единицу не меняет остальные множители. Знак при этом нужно определять по отрицательным множителям, а не по расположению скобок.
Сочетательное свойство меняет скобки, но сохраняет порядок множителей: из a · b · c оно не позволяет получить c · a · b. Для перестановки используют переместительное свойство: a · b = b · a. Например, в 4 · 25 · 7 сначала можно переставить множители и записать 4 · 25 · 7, а затем сгруппировать 4 и 25; если удобные числа не соседние, перестановка как раз помогает поставить их рядом. Важно понимать, какое свойство применяется на каждом шаге.
Пользуйся таблицей как подсказкой: сначала определи, нужно ли только передвинуть скобки или также переставить множители. Затем выбери удобную пару и проверь знак результата. Особые случаи с нулём и единицей позволяют быстро упростить выражение.
| Ситуация | Запись | Что можно сделать | Результат или особый случай |
|---|---|---|---|
| Группировка трёх множителей | a · b · c | (a · b) · c или a · (b · c) | Значение не меняется |
| Группировка четырёх множителей | a · b · c · d | (a · b) · (c · d) | Можно вычислить две пары |
| Удобная пара множителей | 4 · 25 · 7 | (4 · 25) · 7 | 100 · 7 = 700 |
| В произведении есть ноль | a · 0 · b | Сразу применить правило умножения на ноль | Произведение равно 0 |
| В произведении есть единица | a · 1 · b | Не учитывать множитель 1 при вычислении | Произведение равно a · b |
В каждой задаче сначала ищем, какие множители выгодно соединить. Если подходящие числа стоят не рядом, используем переместительное свойство, а уже затем расставляем скобки. После вычислений проверяем знак и разумность результата.
Здесь удобно получить 100: число 4 при умножении на 25 даёт круглое значение. Оставшийся множитель 7 затем легко умножить на 100. Запишем решение по шагам.
Ответ: 700. Выбранная группировка облегчила вычисление, потому что промежуточным результатом стало круглое число. Порядок множителей при этом не менялся.
В исходной записи удобно объединить два отрицательных числа: их произведение положительно. Также числа 5 и 10 дают 50, которое просто умножить на 6. Поскольку отрицательные множители не соседние, сначала переставим их, а потом сгруппируем пары.
Ответ: 300. Два отрицательных множителя дают положительный результат, поэтому итог положителен. Перестановка позволила поставить отрицательные числа рядом, а группировка упростила вычисления внутри пар.
В выражении есть отрицательный множитель только один, значит, результат будет отрицательным. Для вычисления удобно соединить 1,25 и 8, а также 0,4 и 25: обе пары дают простые числа. Так можно обойтись без длинного умножения десятичных дробей.
Ответ: −100. Знак минус сохраняется, так как отрицателен только один множитель. Проверка пар помогает не ошибиться ни в вычислениях, ни в знаке ответа.
Ошибка: считать, что группировка сама меняет порядок множителей. Её допускают, потому что скобки часто используют вместе с перестановкой. Сочетательное свойство позволяет менять только группировку, а переставить числа помогает переместительное свойство. Проверь себя: при одном лишь передвижении скобок порядок чисел должен остаться прежним.
Ошибка: снять скобки и потерять знак отрицательного множителя. Это происходит, когда внимание сосредоточено на удобных числах, а знаки не переписываются. Знак произведения зависит от знаков всех множителей, а не от того, как они сгруппированы. Проверь себя, отдельно посчитав отрицательные множители: чётное их число даёт положительный знак, нечётное — отрицательный.
Ошибка: считать, что множители помимо нуля могут изменить произведение с нулём. Иногда ученик продолжает вычислять остальные числа и получает ненулевой ответ. Но если хотя бы один множитель равен нулю, всё произведение равно нулю. Проверь себя: найди ноль до выполнения остальных вычислений.
Ошибка: неверно поставить запятую в результате умножения десятичных дробей после группировки. Удобные пары могут ускорить вычисления, но не отменяют проверку разрядов. Дополнительно легко забыть минус у отрицательного произведения. Проверь результат оценкой: например, 1,25 · 8 = 10, а знак определяется отдельно по числу отрицательных множителей.
Для работы с группировкой нужны навыки умножения и знание таблицы умножения: они помогают быстро находить удобные пары. Также важно уметь умножать числа с разными знаками и знать переместительное свойство, если нужные множители стоят не рядом. Эти действия будут полезны при устных вычислениях и упрощении числовых выражений. Позже тот же приём применяют в выражениях с буквами, чтобы выбирать удобный порядок действий.
Можно ли менять скобки в произведении из трёх чисел?
Да. По сочетательному свойству (a · b) · c = a · (b · c), поэтому можно сначала вычислить любую пару соседних множителей. Значение произведения от этого не изменится.
Чем группировка множителей отличается от их перестановки?
При группировке меняют только расположение скобок, а порядок множителей остаётся прежним. Чтобы поменять множители местами, используют переместительное свойство умножения.
Как выбрать, какие множители сгруппировать сначала?
Ищи пару, произведение которой легко найти: например, числа с результатом 10, 100 или целым числом. Если порядок множителей мешает соединить удобную пару, их можно переставить по переместительному свойству.
Что будет с произведением, если один из множителей равен нулю?
Всё произведение будет равно нулю, независимо от остальных множителей. Достаточно одного множителя, равного нулю.
Можно ли применять группировку, если множители отрицательные или десятичные?
Да, сочетательное свойство работает и с отрицательными, и с десятичными числами. При вычислении отдельно следи за знаком результата и правильно ставь запятую в десятичной дроби.
2.30. Умножение чисел. Группировка множителей
