2.32. Умножение многозначных чисел на однозначные

Определения и обозначения

Многозначное число — это число, в записи которого несколько цифр. Значение каждой цифры зависит от её места: в числе 243 цифра 2 означает две сотни, 4 — четыре десятка, а 3 — три единицы. Поэтому число можно представить как сумму разрядных слагаемых: 243 = 200 + 40 + 3. Такое представление помогает понять, какие части числа умножаются и почему цифры результата должны оставаться в своих разрядах.

Однозначное число — число, записанное одной цифрой от 0 до 9. В рассматриваемом умножении оно выступает множителем, то есть числом, на которое умножают многозначное число. Например, в записи 243 · 3 число 3 — однозначный множитель. Знание таблицы умножения помогает быстро находить произведение каждой цифры на этот множитель.

Письменное умножение — способ вычисления, при котором цифры многозначного числа умножают поразрядно, начиная с единиц. Если результат умножения цифры двузначный, его единицы записывают в текущий разряд, а десятки учитывают в следующем. Такой порядок позволяет компактно выполнить вычисление столбиком и не потерять разрядное значение цифр. Он особенно удобен, когда в числе много разрядов или несколько переносов.

Как это устроено

Многозначное число удобно представить суммой разрядных слагаемых, потому что тогда понятно, из каких частей оно состоит. Например, 243 — это 200 + 40 + 3, поэтому 243 · 3 можно рассматривать как 200 · 3 + 40 · 3 + 3 · 3. Умножение суммы на число даёт сумму произведений её частей. Письменный способ выполняет эти действия по разрядам, не требуя каждый раз записывать всю сумму.

Начинают с единиц, потому что это самый младший разряд, а возможные десятки от его умножения нужны для работы с разрядом десятков. Затем переходят к десяткам, сотням и следующим разрядам. Такое направление сохраняет порядок записи: уже обработанные разряды остаются справа, а новые записываются левее. Если начать со старшего разряда, переносы пришлось бы возвращать к уже записанным цифрам.

Когда цифру разряда умножают на однозначный множитель, результат может быть двузначным. Например, 7 · 8 = 56: цифру 6 записывают в текущий разряд, а 5 десятков переносят в следующий. Это связано с разрядным составом числа: 56 единиц — это 5 десятков и 6 единиц. Запись одной цифры в каждом разряде помогает сохранить правильное место каждой части результата.

При умножении следующей цифры к её произведению прибавляют перенесённые десятки. Например, если получилось 5 десятков переноса, а цифра десятков равна 4, то считают 4 · множитель + 5. Перенос нельзя забывать: это часть общего произведения, полученная из предыдущего разряда. Если новая сумма снова двузначная, единицы записывают, а десятки переносят дальше.

После точного вычисления результат полезно проверить прикидкой. Для этого многозначное число округляют до удобного значения и умножают округлённое число на тот же множитель. Например, 27 536 можно оценить как 28 000, а затем сравнить точный результат с 28 000 · 8. Прикидка не даёт точного ответа, зато помогает заметить ошибку в разряде или переносе, если полученное число сильно отличается от ожидаемого.

Письменное умножение многозначного числа на однозначное

Таблица показывает, что делать с цифрой каждого разряда и переносом при переходе к следующему шагу. Пользуйся строками сверху вниз: начинай с единиц и заканчивай, когда обработаны все цифры числа. Если перенос остался после старшего разряда, запиши его слева от уже полученного результата.

Разбор задач

Задача: вычислите 243 · 3. В числе нет цифр, произведение которых на 3 было бы больше 9, поэтому переносов не ожидается. Умножаем справа налево и записываем результат в соответствующие разряды.

1. Единицы: 3 · 3 = 9, записываем 9 в разряд единиц.
2. Десятки: 4 · 3 = 12; записываем 2 десятка и переносим 1 сотню. Стоп: произведение 12 требует переноса, поэтому пример не является вычислением без переноса. Исправляем ход: это показывает необходимость следить за произведением.
3. Сотни: 2 · 3 + 1 = 7, записываем 7 сотен.

Ответ: 729. Здесь виден обычный принцип: даже если перенос сначала не ожидается, каждое произведение нужно проверять отдельно. Проверка сложением разрядных результатов подтверждает вычисление: 200 · 3 + 40 · 3 + 3 · 3 = 600 + 120 + 9 = 729.

Задача: вычислите 4 086 · 7. Ноль находится в разряде десятков, но его место нельзя пропускать, иначе цифры результата сместятся. Выполняем действия по разрядам справа налево.

1. Единицы: 6 · 7 = 42; записываем 2, переносим 4 десятка.
2. Десятки: 0 · 7 + 4 = 4; записываем 4, переноса нет.
3. Сотни: 0 · 7 = 0; записываем 0 в разряд сотен.
4. Тысячи: 4 · 7 = 28; записываем 8, а 2 десятка тысяч ставим слева.

Ответ: 28 602. Два нуля в исходной записи относятся к разным разрядам и сохраняют их порядок в произведении. Проверить вычисление можно разложением: 4 000 · 7 + 80 · 7 + 6 · 7 = 28 000 + 560 + 42 = 28 602.

Задача: вычислите 27 536 · 8 и проверьте разумность результата. Здесь несколько произведений будут двузначными, поэтому переносы встретятся на нескольких шагах. Двигаемся от единиц и каждый раз прибавляем перенос к следующему произведению.

1. Единицы: 6 · 8 = 48; записываем 8, переносим 4.
2. Десятки: 3 · 8 + 4 = 28; записываем 8, переносим 2.
3. Сотни: 5 · 8 + 2 = 42; записываем 2, переносим 4.
4. Тысячи: 7 · 8 + 4 = 60; записываем 0, переносим 6.
5. Десятки тысяч: 2 · 8 + 6 = 22; записываем 22 слева.

Ответ: 220 288. Для прикидки округлим 27 536 до 28 000: 28 000 · 8 = 224 000. Точный результат немного меньше этой оценки, что разумно, поскольку исходное число меньше 28 000.

Типичные ошибки

Ошибка: начинать умножение со старшего разряда. Так поступают, потому что чтение числа обычно идёт слева направо, но при письменном умножении переносы должны попадать в ещё не обработанный разряд. Начинай с единиц и двигайся влево. Проверь себя: у каждой цифры результата должен быть свой разряд, а перенос — учтён на следующем шаге.

Ошибка: забыть прибавить перенос к произведению следующей цифры. Перенос легко упустить, если считать только произведение цифры на множитель. Записывай перенесённое число рядом с вычислением следующего разряда и прибавляй его до записи ответа. Для проверки повтори именно этот шаг и сравни сумму с записанной цифрой.

Ошибка: записать всё двузначное произведение в текущий разряд. Так цифры результата займут неверные места: например, 56 единиц означают 5 десятков и 6 единиц. Оставь в текущем разряде только 6, а 5 перенеси дальше. Проверь запись по разрядам: в каждом текущем разряде должна стоять одна цифра.

Ошибка: пропустить разряд с нулём и сдвинуть остальные цифры результата. Ноль может казаться несущественным, но он удерживает место разряда; в результате его пропуск меняет значение числа. Умножай ноль на множитель и записывай результат в его разряд, учитывая возможный перенос. Проверь число цифр и разряды результата, например оценкой порядка величины.

Связь с другими темами

Перед письменным умножением нужно знать таблицу умножения, состав числа по разрядам и значение разрядных слагаемых. Таблица помогает умножать отдельные цифры, а понимание разрядов объясняет перенос и расположение ответа. Если представить число суммой, становится понятным, почему поразрядный способ даёт тот же результат.

Этот способ пригодится при умножении многозначных чисел друг на друга: там каждый разряд одного множителя умножают на другое число, а затем складывают результаты. Он также помогает в вычислениях с величинами, когда требуется умножить количество единиц измерения на число. Уверенное владение переносом облегчает такие расчёты и помогает замечать ошибки.

Что запомнить

• Многозначное число умножают на однозначное, начиная с единиц.
• Каждую цифру умножают на однозначный множитель с учётом переноса.
• В текущий разряд записывают цифру единиц полученного произведения.
• Десятки произведения переносят в следующий разряд.
• Перенос прибавляют к результату умножения следующей цифры.
• После вычисления полезно проверить ответ прикидкой.