2.33—2.34. Умножение чисел

Определения и обозначения

Произведение — результат умножения, а числа, которые перемножают, называют множителями. Например, в записи −4 · 6 число −4 и число 6 — множители, а −24 — произведение. Это помогает правильно описывать части выражения и объяснять порядок вычислений.

Правило знаков при умножении определяет знак произведения по знакам множителей. Одинаковые знаки дают плюс, а разные — минус. Сначала можно определить знак, а затем спокойно перемножить числовые значения без знаков.

Модуль произведения равен произведению модулей множителей: |a · b| = |a| · |b|. Модуль показывает расстояние числа от нуля и не бывает отрицательным. Поэтому знак и величину результата удобно находить отдельно.

Распределительное свойство умножения позволяет умножить сумму или разность на число по частям. Например, a · (b + c) = a · b + a · c, а a · (b − c) = a · b − a · c. Это свойство нужно для раскрытия скобок и упрощения вычислений.

Как это устроено

Если оба множителя положительные, результат положителен по обычному смыслу умножения. Если оба множителя отрицательные, их модули перемножаются как положительные числа, а два отрицательных знака взаимно меняют результат дважды. Поэтому −a · (−b) = a · b при положительных a и b.

При разных знаках один множитель задаёт изменение направления или знака, поэтому результат получается отрицательным. Например, −6 · 4 имеет тот же модуль, что и 6 · 4, но знак минус. Так появляется правило: одинаковые знаки — плюс, разные знаки — минус.

Для нескольких множителей сначала считают отрицательные множители. Чётное количество минусов даёт положительный знак, потому что знаки объединяются парами, а каждая пара даёт плюс. Нечётное количество оставляет один минус, поэтому результат отрицателен; модуль при этом равен произведению всех модулей.

Распределительное свойство основано на том, что сумма или разность в скобках состоит из отдельных слагаемых. Умножение числа на всю скобку можно заменить умножением этого числа на каждый член. При разности знак второго результата сохраняется через запись a · (b − c) = a · b − a · c.

Переместительное свойство разрешает менять множители местами: a · b = b · a. Сочетательное свойство разрешает по-разному объединять их: (a · b) · c = a · (b · c). Благодаря этому можно сначала перемножить удобные числа, например 25 · 4 · 3 = (25 · 4) · 3.

Знаки множителей и знак произведения

Сначала найдите строку, соответствующую знакам двух множителей, и определите знак результата. Затем перемножьте модули чисел. Если один из множителей равен нулю, произведение сразу равно нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите произведение −6 · 4. Здесь множители имеют разные знаки, поэтому результат должен быть отрицательным. Сначала найдём модуль произведения, а затем поставим нужный знак.

1. Определяем знак: «минус» и «плюс» дают отрицательный результат.
2. Перемножаем модули: |−6| · |4| = 6 · 4 = 24.
3. Записываем знак перед найденным модулем: −24.

Ответ: −24.

Задача 2. Вычислите −2,5 · (−0,4) · 3. В произведении два отрицательных множителя, значит знак результата положительный. Для удобства сначала объединим числа 2,5 и 0,4, произведение которых легко найти.

1. Считаем отрицательные множители: их два, поэтому знак будет «плюс».
2. Группируем модули: 2,5 · 0,4 · 3 = (2,5 · 0,4) · 3.
3. Вычисляем: 2,5 · 0,4 = 1, затем 1 · 3 = 3.

Ответ: 3.

Задача 3. Вычислите −3 · (12 − 5) двумя способами. Первый способ использует вычисление в скобках, а второй — распределительное свойство. Совпадение результатов подтверждает, что знак и раскрытие скобок учтены правильно.

1. Первый способ: 12 − 5 = 7, поэтому −3 · 7 = −21.
2. Второй способ: −3 · (12 − 5) = (−3) · 12 − (−3) · 5.
3. Получаем −36 − (−15) = −36 + 15 = −21.

Ответ: −21.

Типичные ошибки

Ошибка: считать произведение двух отрицательных чисел отрицательным. Её допускают, перенося знак минус только от одного множителя; проверка проста — одинаковые знаки должны дать плюс.

Ошибка: при разных знаках записывать только положительный модуль. Так забывают вторую часть правила; сначала назовите знак вслух, а потом поставьте его перед результатом.

Ошибка: в произведении нескольких чисел смотреть лишь на наличие минусов. Нужно посчитать их количество: чётное даёт плюс, нечётное — минус.

Ошибка: при раскрытии скобок умножать число не на каждый член или терять знак разности. Проверьте, что множитель встретился у каждого слагаемого, и отдельно вычислите знак каждого произведения.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны навыки умножения натуральных и десятичных дробей, действий с обыкновенными дробями и понимание модуля числа. Эти знания позволяют отдельно вычислять величину произведения и правильно работать со знаками.

Правила умножения используются при делении отрицательных чисел, упрощении выражений и решении уравнений. Распределительное свойство также помогает преобразовывать выражения со скобками.

Что запомнить

• Модуль произведения равен произведению модулей множителей.
• Множители с одинаковыми знаками дают положительное произведение.
• Множители с разными знаками дают отрицательное произведение.
• В произведении нескольких отрицательных множителей знак положительный при чётном их количестве и отрицательный при нечётном.
• При умножении суммы на число каждый член суммы умножают на это число.
• Переместительное и сочетательное свойства помогают сгруппировать множители удобным образом.