2.40. Арифметические действия над числами

Определения и обозначения

Арифметическое действие — действие над числами, результатом которого обычно становится новое число. К основным действиям относятся сложение, вычитание, умножение и деление. Они нужны, чтобы выполнять вычисления и описывать отношения между величинами. Например, с их помощью можно узнать общее количество предметов или разделить их поровну.

Сумма — результат сложения, а числа, которые складывают, называются слагаемыми: 7 + 5 = 12. Здесь 7 и 5 — слагаемые, а 12 — сумма. Это название помогает отличать числа, с которыми выполняют действие, от полученного результата. Перестановка слагаемых не меняет сумму.

Разность — результат вычитания. В записи 15 − 6 = 9 число 15 называется уменьшаемым, 6 — вычитаемым, а 9 — разностью. Названия показывают, из какого числа вычитают другое. Они помогают не перепутать порядок чисел, от которого зависит результат.

Произведение — результат умножения, а числа, которые умножают, называются множителями: 4 · 3 = 12. Частное — результат деления; в записи 12 : 3 = 4 число 12 — делимое, а 3 — делитель. Эти названия нужны, чтобы понимать роль каждого числа в вычислении и проверять его обратным действием. Делить на ноль нельзя.

Как это устроено

Сложение объединяет количества: если к одной группе предметов добавить другую, общее число находят сложением. Умножение удобно, когда одно и то же число повторяется несколько раз, например 4 · 3 означает три группы по четыре. Вычитание отвечает на вопрос, сколько останется или на сколько одно число больше другого. Деление помогает разделить количество поровну либо узнать, сколько раз одна величина содержится в другой.

При сложении числа можно менять местами, потому что объединение тех же частей даёт то же целое: 8 + 3 = 3 + 8. Аналогично при умножении перестановка множителей не меняет произведение: 5 · 2 = 2 · 5. В вычитании числа выполняют разные роли: из уменьшаемого убирают вычитаемое. В делении делимое распределяют на части, заданные делителем, поэтому перестановка чисел меняет смысл и результат.

Ноль при сложении не меняет число: a + 0 = a, потому что к количеству ничего не добавили. При умножении на ноль получается ноль: a · 0 = 0, ведь ноль групп по a предметов не содержит предметов. Единица при умножении сохраняет число, а деление на 1 тоже оставляет его без изменения. Деление на ноль невозможно: частное должно при умножении на ноль дать делимое, но любое произведение с нулём равно 0, поэтому для ненулевого делимого такого числа нет; 0 : 0 также не имеет единственного ответа.

Сложение и вычитание называют обратными действиями: вычитание отменяет прибавление, если вычитают добавленное число. Поэтому из равенства 6 + 4 = 10 следуют равенства 10 − 4 = 6 и 10 − 6 = 4. Умножение и деление также связаны: делением можно отменить умножение на ненулевое число. Например, если 3 · 5 = 15, то 15 : 5 = 3 и 15 : 3 = 5.

Порядок действий нужен, чтобы у выражения был один и тот же результат у всех, кто его вычисляет. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковый приоритет, их выполняют слева направо: в выражении 18 : 3 · 2 сначала делят 18 на 3, затем умножают результат на 2. Скобки позволяют изменить обычный порядок, если сначала нужно выполнить другую часть вычисления.

Основные арифметические действия над числами

Пользуйся таблицей, чтобы быстро вспомнить, как называется каждый компонент и каким действием проверить результат. Для деления отдельно проверяй, что делитель не равен нулю. Особые случаи помогают упростить вычисление, не меняя его смысла.

Разбор задач

Вычислить: 37 + 18 − 25. Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет, поэтому идём слева направо. Сначала найдём сумму, а затем вычтем 25 из полученного результата. Такой порядок сохраняет значение выражения.

1. Сначала вычисляем 37 + 18 = 55.
2. Затем вычитаем: 55 − 25 = 30.
3. Проверяем: если к разности 30 прибавить вычитаемое 25, получится уменьшаемое 55. Значит, вычисление выполнено согласованно.

Ответ: 30.

Вычислить: (−3,6) · 2,5 + 4,8 : (−1,2). Сначала выполняем умножение и деление, потому что они имеют приоритет перед сложением. При умножении и делении чисел с разными знаками результат отрицательный. После этого складываем два найденных отрицательных числа.

1. Вычисляем произведение: (−3,6) · 2,5 = −9, так как 3,6 · 2,5 = 9, а знаки множителей разные.
2. Вычисляем частное: 4,8 : (−1,2) = −4, потому что 1,2 · 4 = 4,8 и знаки делимого и делителя разные.
3. Складываем результаты: −9 + (−4) = −13. Проверить можно умножением −4 · (−1,2) = 4,8 и делением −9 : 2,5 = −3,6.

Ответ: −13.

Вычислить: 5/6 − (1/4 + 3/8) · 2/3. Сначала работаем со скобками, затем умножаем найденную сумму на 2/3 и только после этого вычитаем. При сложении дробей в скобках нужен общий знаменатель. В конце проверим вычисление сложением разности и вычитаемого.

1. Приводим дроби в скобках к знаменателю 8: 1/4 = 2/8, поэтому 1/4 + 3/8 = 5/8.
2. Умножаем: 5/8 · 2/3 = 10/24 = 5/12. Сокращаем дробь на 2.
3. Вычитаем, приведя дроби к знаменателю 12: 5/6 = 10/12, поэтому 10/12 − 5/12 = 5/12. Проверка: 5/12 + 5/12 = 10/12 = 5/6.

Ответ: 5/12.

Типичные ошибки

Меняют местами уменьшаемое и вычитаемое или делимое и делитель, думая, что это не повлияет на ответ. Такая ошибка возникает, если переносить свойство сложения и умножения на все действия. Проверь себя на простых числах: 9 − 4 = 5, но 4 − 9 = −5; 12 : 3 = 4, но 3 : 12 = 1/4.

Иногда пытаются разделить число на ноль, потому что воспринимают ноль как обычный делитель. Но частное должно при умножении на делитель вернуть делимое, а любое число, умноженное на ноль, даёт ноль. Проверяй делитель до вычисления: если он равен 0, деление выполнять нельзя.

Можно ошибиться с нулём и единицей: например, решить, что число, умноженное на ноль, остаётся прежним. Это часто происходит из-за смешения правил умножения и сложения: ноль не меняет число именно при сложении, а единица — при умножении. Для самопроверки подставь небольшое число: 7 · 0 = 0, а 7 · 1 = 7.

Нарушение порядка действий или преждевременное раскрытие скобок меняет значение выражения. Причина обычно в том, что вычисления начинают слева направо, не учитывая приоритет, либо забывают, что скобки задают первый шаг. Перед решением отметь скобки, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание; действия одного уровня выполняй слева направо.

Связь с другими темами

Для вычислений нужны знания о натуральных, целых и рациональных числах, числовой прямой, таблице сложения и умножения, а также правилах действий со знаками и дробями. Эти действия применяются при преобразовании числовых и буквенных выражений, решении уравнений и задач, вычислениях по формулам. Позже они понадобятся при изучении свойств арифметических действий, степеней, пропорций, координат и функций.

Что запомнить

• Сложение, вычитание, умножение и деление — основные арифметические действия.
• Вычитание обратно сложению, а деление обратно умножению.
• Слагаемые дают сумму, уменьшаемое и вычитаемое дают разность.
• Множители дают произведение, делимое и делитель дают частное.
• Перестановка слагаемых и множителей не изменяет результат.
• На ноль делить нельзя.
• В выражении сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.