2.39. Деление круглых многозначных чисел на круглые числа

Определения и обозначения

Круглое число — число, оканчивающееся одним или несколькими нулями. Например, 40 и 7000 — круглые числа. Это определение помогает сразу заметить, можно ли упростить пример, разделив оба числа на степень десяти.

Круглое многозначное число — многозначное число, оканчивающееся нулями. Количество нулей показывает, на какую степень десяти оно делится: например, 5600 делится на 100. Это удобно учитывать, чтобы определить, сколько цифр можно убрать при упрощении деления.

Деление круглых чисел — нахождение частного, при котором одинаковое количество нулей в делимом и делителе можно сократить. Например, в записи 3600 : 60 можно убрать по одному нулю. Такой приём нужен, чтобы заменить длинное вычисление более простым, сохранив его результат.

Частное — результат деления делимого на делитель. В записи 360 : 6 = 60 число 60 — частное, а 360 и 6 — делимое и делитель. Знание этих названий помогает не перепутать, какое число делят и какое используют для проверки.

Как это устроено

Чтобы понять, почему можно сокращать нули, представь деление как умножение на обратное число: a : b = a · 1/b. Если делимое и делитель разделить на одно и то же ненулевое число k, получится (a/k) : (b/k). В записи через умножение множитель k сокращается: (a/k) · k/b = a/b. Значит, частное остаётся тем же, хотя числа в примере становятся меньше.

При делении круглых чисел убирают одинаковое количество нулей справа у обоих чисел. Один общий ноль означает, что делимое и делитель разделили на 10; два нуля — на 100. Например, 3600 : 60 превращается в 360 : 6, потому что оба числа разделили на 10. Нельзя убрать ноль только у одного числа: тогда делимое или делитель изменится отдельно, и частное станет другим.

Количество сокращаемых нулей ограничено: сравни число нулей в конце делимого и делителя и бери меньшее из двух количеств. Если в делимом три нуля, а в делителе два, можно убрать только два общих нуля. После этого в первом числе останется один ноль, а во втором нулей в конце уже не будет. Так мы не пытаемся удалить цифры, которых в одном из чисел нет.

Когда нули сокращены, выполни деление получившихся чисел обычным способом. Если деление получилось нацело, проверь результат: умножь частное на исходный делитель — должно получиться исходное делимое. Используй именно исходные числа, чтобы убедиться, что сокращение не привело к потере нуля и что вычисления верны. Например, для 84 000 : 700 проверка будет 120 · 700 = 84 000.

Если после сокращения деление не выполняется нацело, можно записать частное с остатком. Но остаток сокращённого примера относится к уменьшенным числам, поэтому для исходного примера его нужно умножить на число, на которое делили оба числа. Например, после деления 125 : 3 остаток равен 2, а при сокращении исходных чисел на 1000 остаток исходного примера равен 2000. Проверка: 3000 · 41 + 2000 = 125 000.

Деление круглых многозначных чисел

В таблице показано, как выбрать действие в зависимости от того, что получилось после сокращения нулей. Начинай с подсчёта общих нулей, затем выполняй деление и проверяй ответ. Для примера с остатком обязательно учитывай, во сколько раз были уменьшены исходные числа.

Разбор задач

Вычислите 3600 : 60. В обоих числах есть нули, и можно убрать по одному. Это значит, что делимое и делитель делим на 10; частное от этого не меняется. После упрощения достаточно разделить 360 на 6.

1. Сократим по одному нулю: 3600 : 60 = 360 : 6.
2. Вычислим частное: 360 : 6 = 60.
3. Проверим исходный пример: 60 · 60 = 3600.

Ответ: 60. Проверка совпала с исходным делимым, значит, частное найдено верно. Сокращение помогло заменить деление больших чисел простым примером из таблицы умножения.

Вычислите 84 000 : 700. У делимого три нуля в конце, у делителя — два, поэтому общими являются два нуля. Разделим оба числа на 100 и получим 840 : 7. Здесь важно сократить именно два нуля, а не все три у делимого.

1. Сократим два общих нуля: 84 000 : 700 = 840 : 7.
2. Разделим: 840 : 7 = 120.
3. Проверим исходный пример: 120 · 700 = 84 000.

Ответ: 120. После сокращения деление выполняется нацело. Проверка с исходным делителем подтверждает, что ответ относится к исходному примеру, а не только к упрощённой записи.

Вычислите 125 000 : 3000 с остатком. В обоих числах можно убрать по три нуля, то есть разделить их на 1000. Получится 125 : 3; оно не делится нацело, поэтому нужно найти частное и остаток. Остаток 2 относится к уменьшенному примеру, а не к исходному делителю 3000.

1. Сократим три общих нуля: 125 000 : 3000 = 125 : 3.
2. Разделим с остатком: 125 : 3 = 41 (ост. 2), потому что 3 · 41 = 123, а 125 − 123 = 2.
3. Так как числа уменьшили в 1000 раз, умножим остаток на 1000: 2 · 1000 = 2000.
4. Проверим: 3000 · 41 + 2000 = 125 000, причём 2000 меньше 3000.

Ответ: 41 (ост. 2000). При проверке использованы исходный делитель и пересчитанный остаток. Если оставить остаток 2, равенство для исходного примера не выполнится.

Типичные ошибки

Сокращают нули только в одном числе. Так можно ошибиться, потому что частное сохраняется лишь тогда, когда делимое и делитель делят на одно и то же число. Перед вычислением проверь: убирается одинаковое количество нулей с обоих чисел. Затем умножь частное на исходный делитель и сравни результат с делимым.

Сокращают больше нулей, чем есть у одного из чисел. Обычно это происходит, когда считают нули только в делимом и не проверяют делитель. Нельзя удалить цифру, которой нет: количество сокращаемых нулей не может превышать меньшего количества общих нулей. Пересчитай нули в конце каждого числа отдельно.

Оставляют остаток сокращённого примера без пересчёта. Остаток 2 в примере 125 : 3 — это не остаток для деления 125 000 на 3000, потому что оба исходных числа уменьшили в 1000 раз. Умножь сокращённый остаток на 1000 и получи 2000. Проверь, что исходный делитель, умноженный на частное, вместе с этим остатком даёт исходное делимое.

Не проверяют деление умножением. Из-за ошибки в простом делении частное может оказаться неверным, даже если нули сокращены правильно. Проверка для деления без остатка: частное · исходный делитель = исходное делимое. При остатке прибавь его к произведению и убедись, что он меньше делителя.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно делить круглые числа, нужно знать таблицу умножения и уметь делить с остатком: эти навыки понадобятся после сокращения нулей. Также пригодится понимание разрядного состава многозначных чисел — оно помогает увидеть, что нули в конце связаны с десятками, сотнями и тысячами.

Приём основан на свойстве частного: делимое и делитель можно разделить на одно и то же ненулевое число, не изменив результат. Это свойство используется не только с круглыми числами, но и при упрощении разных примеров на деление.

Сокращение нулей пригодится при письменном делении многозначных чисел и при решении задач. Например, оно помогает распределять одинаковые количества предметов по группам или сравнивать величины, записанные круглыми числами.

Что запомнить

• Делимое и делитель можно разделить на одно и то же ненулевое число.
• При делении круглых чисел сокращают одинаковое количество общих нулей.
• Сокращение нулей не меняет частное.
• После сокращения деление обычно становится проще.
• Остаток в исходном примере проверяют с исходным делителем.
• Проверка деления: делитель умножить на частное и прибавить остаток.