2.38. Деление числа на произведение

Определения и обозначения

Произведение — результат умножения. В записи a:(b·c) число a делят на произведение b и c, а сами b и c называют множителями делителя. Это понятие помогает увидеть, что делитель состоит из нескольких частей и каждую из них нужно учесть при вычислении.

Деление числа на произведение — нахождение частного, когда делитель записан как произведение нескольких множителей. Например, в выражении 84:(2·7) делят 84 не просто на 2 или на 7, а на их произведение. Такое представление позволяет выбрать удобный способ вычисления.

Правило деления на произведение записывают так: a:(b·c) = (a:b):c = (a:c):b, если b и c не равны нулю. Оно означает, что можно заменить деление на произведение делением сначала на один множитель, затем на другой. Формула нужна, чтобы считать выражения с составным делителем проще.

Последовательное деление на множители — это замена деления на произведение несколькими делениями подряд. Например, вместо 60:(3·4) можно выполнить 60:3, а затем полученный результат разделить на 4. Такой способ помогает не вычислять произведение в скобках заранее.

Как это устроено

Пусть q = a:(b·c). По смыслу деления число q при умножении на делитель b·c даёт делимое a: q·(b·c) = a. Раскроем произведение: (q·b)·c = a. Значит, число q·b при умножении на c даёт a, то есть q·b = a:c; отсюда q = (a:c):b. Аналогично можно сначала разделить на b и получить q = (a:b):c, поэтому деление на произведение заменяется двумя действиями.

При делителе из двух множителей сначала делят исходное число на один множитель, а затем полученное частное — на второй. Нельзя остановиться после первого деления: оно учитывает лишь часть делителя, тогда как нужно разделить на всё произведение. Например, в записи 84:(2·7) после вычисления 84:2 результат ещё предстоит разделить на 7. Так последовательное деление сохраняет смысл исходного выражения.

Множители делителя можно менять местами, потому что b·c = c·b. При делении на произведение это позволяет выбрать один из двух вариантов: сначала разделить на b, потом на c или сначала на c, потом на b. В обоих случаях делитель остаётся тем же самым произведением. Перестановка нужна не для изменения ответа, а для более удобного счёта.

Чтобы выбрать порядок, посмотри, какой множитель проще использовать первым. Если исходное число делится на него без остатка, промежуточное частное будет целым; иногда после первого шага получается число, которое легче делить дальше. Например, при вычислении 360:(9·5) можно сперва разделить на 9, а можно на 5. Второй вариант удобен: 360:5 = 72, а 72:9 легко вычислить.

Правило требует, чтобы оба множителя были ненулевыми. Если b или c равен нулю, их произведение равно нулю, а исходное выражение становится делением на ноль. Такое деление не определено, поэтому нельзя применять и последовательную запись, где пришлось бы делить на нулевой множитель. Перед вычислениями проверь, что каждый множитель делителя отличен от нуля.

Способы разделить число на произведение

Сначала найди в левом столбце исходную запись, затем выбери один из вариантов преобразования. Последняя строка напоминает, что порядок можно подобрать для удобства, но оба множителя должны быть учтены. Столбец с условиями помогает проверить, допустимо ли деление.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 84:(2·7). Делитель записан как произведение двух множителей, поэтому заменим деление на него последовательными делениями. Здесь можно начать с 2: число 84 делится на 2 без остатка. После первого шага не забудем разделить частное на оставшийся множитель 7.

1. Записываем последовательное деление: 84:(2·7) = 84:2:7.
2. Выполняем первое деление: 84:2 = 42.
3. Делим полученное частное на второй множитель: 42:7 = 6.

Ответ: 6. Проверка помогает убедиться в результате: 6·(2·7) = 6·14 = 84. Частное при умножении на весь делитель возвращает исходное число. Поэтому вычисление выполнено верно.

Задача 2. Вычислите 360:(9·5), выбрав удобный порядок деления. Можно делить сначала на 9 или сначала на 5, поскольку от перестановки множителей произведение не меняется. Выберем 5: деление 360 на 5 даёт целое число, которое удобно разделить на 9. Так мы используем правило и упрощаем вычисления.

1. Меняем порядок множителей и записываем: 360:(9·5) = 360:5:9.
2. Вычисляем первое частное: 360:5 = 72.
3. Делим результат на второй множитель: 72:9 = 8.

Ответ: 8. Если сначала вычислить 9·5, получится 45, а 360:45 также равно 8. Проверка через умножение: 8·45 = 360. Выбранный порядок изменил только удобство вычислений, но не результат.

Задача 3. Найдите x, если x:(4·6) = 7. Неизвестное число делят на произведение и получают 7. Чтобы найти делимое, нужно умножить частное на делитель. Поэтому сначала восстановим делитель, а затем найдём x.

1. Записываем связь деления и умножения: x = 7·(4·6).
2. Вычисляем произведение в скобках: 4·6 = 24.
3. Находим неизвестное число: x = 7·24 = 168.

Ответ: x = 168. Проверим: 168:(4·6) = 168:24 = 7. Получили указанное в условии частное. Значит, найденное значение x подходит.

Типичные ошибки

Ошибка: записать a:(b·c) как (a:b)·c. Так делают, когда неверно переносят множитель из делителя и забывают, что на второй множитель тоже нужно делить. Проверь себя: после первого деления в записи должно остаться деление на c, а не умножение на него. Подстановка простых чисел помогает заметить различие между действиями.

Ошибка: разделить число только на один множитель делителя. Это происходит, если в выражении со скобками учитывать лишь первый или более заметный множитель. Проверь, что в последовательной записи присутствуют оба деления и после вычисления первого шага остался второй множитель. Например, 84:(2·7) — это не только 84:2.

Ошибка: считать, что перестановка множителей меняет ответ. Путаница возникает потому, что меняется порядок действий в записи. Но b·c = c·b, поэтому делитель остаётся прежним; проверить это можно, вычислив произведение обоими способами. Выбирать порядок разрешается, если не пропущен ни один множитель.

Ошибка: применять правило, когда один из множителей равен нулю. Иногда забывают проверить ограничения и пытаются выполнить деление на ноль. Если b = 0 или c = 0, то b·c = 0, а деление на ноль не определено. Перед преобразованием убедись, что оба множителя отличны от нуля.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно понимать смысл умножения и деления, знать таблицу умножения и связь между делимым, делителем и частным. Именно эта связь объясняет, почему частное, умноженное на делитель, даёт делимое. Если она знакома, можно не заучивать правило как отдельное действие, а проверить его смысл.

Деление на произведение помогает упрощать числовые выражения: составной делитель можно заменить несколькими делениями подряд. Похожий приём полезен при вычислениях с дробями, если делитель представлен произведением. Умение подобрать порядок множителей делает такие вычисления короче и понятнее.

Что запомнить

• Чтобы разделить число на произведение, раздели его последовательно на каждый множитель.
• a:(b·c) = (a:b):c.
• Множители делителя можно менять местами.
• Для упрощения вычислений начинай с удобного множителя.
• Делить на ноль нельзя.
• После последовательных делений получается то же частное, что и при делении на произведение.