"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Деление числа на произведение позволяет заменить один сложный делитель несколькими множителями. Для этого делимое делят на каждый множитель по очереди: a : (b · c) = (a : b) : c. Такой приём помогает упростить вычисления: порядок деления можно выбрать так, чтобы промежуточные числа было легче делить. Главное — не забывать скобки и не делить на ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление числа на произведение — деление, при котором делитель представлен произведением множителей. Например, в записи 120 : (3 · 4) число 120 делят на произведение 3 и 4. Это определение помогает увидеть, что делитель состоит из нескольких чисел, а не является одним отдельным множителем.
Делимое — число, которое делят; в записи a : (b · c) это число a. Оно стоит перед знаком деления и показывает, какое число нужно разделить. Понимание роли делимого помогает не перепутать исходное число с множителями делителя.
Делитель — число, на которое делят; в записи a : (b · c) это произведение b · c. Скобки показывают, что делителем служит всё произведение целиком. Это нужно, чтобы правильно прочитать выражение и не изменить порядок действий.
Частное — результат деления числа на произведение. Например, в равенстве 120 : (3 · 4) = 10 число 10 является частным. Зная этот термин, удобно говорить о результате и проверять его обратным действием — умножением.
Деление на произведение можно заменить последовательным делением: a : (b · c) = (a : b) : c, если деления определены. Это свойство следует из связи умножения и деления: произведение b · c показывает, во сколько раз делитель больше каждого из множителей. Разделив a сначала на b, а затем на c, мы в итоге делим на оба множителя сразу.
Почему можно действовать именно так? Частное при делении a на b — это число, которое при умножении на b даёт a. Если затем разделить его на c, результат при умножении на c и b снова даст a. Поэтому последовательное деление на b и c равносильно делению на их произведение, а не просто похоже на него по записи.
Порядок деления на множители выбирают по удобству. Например, иногда сначала получается целое число или число с нулями, и следующий шаг становится проще. Если делить сначала на другой множитель, промежуточный результат может выглядеть иначе, но при допустимых делениях итог не меняется: в обоих случаях делим на те же множители.
Равенство можно проверить обратным действием. Полученное частное умножают на делитель — произведение всех множителей; результат должен совпасть с делимым. Проверка полезна, потому что помогает обнаружить ошибку в вычислении или в выбранном делителе.
У правила есть ограничения: делитель не должен быть равен нулю, поэтому ни один из множителей не может быть нулём. Кроме того, каждый отдельный шаг деления должен быть определён. Делить на ноль нельзя, поэтому выражение с нулевым множителем в делителе вычислить этим способом невозможно.
| Способ | Запись | Когда удобно |
|---|---|---|
| Сначала разделить на первый множитель | a : (b · c) = (a : b) : c | Если a удобно разделить на b |
| Сначала разделить на второй множитель | a : (b · c) = (a : c) : b | Если деление на c проще |
| Разложить делитель на множители и выбирать удобный порядок | a : (b · c · d) = a : b : c : d | Если в делителе несколько множителей |
| Проверить результат умножением частного на делитель | частное · (b · c) = a | Чтобы убедиться, что ответ верен |
Сначала посмотрите, на какой множитель исходное число делится проще. Затем разделите полученный результат на оставшийся множитель. После вычислений можно проверить частное умножением на весь делитель.
Задача: вычислите 120 : (3 · 4). Нужно не забыть, что делитель — всё произведение, а не только число 3. Представим деление на произведение как последовательное деление и выберем шаги, которые легко выполнить устно.
Ответ: 10. Можно было сначала разделить 120 на 4, а затем на 3: получится 30 : 3 = 10. Оба порядка приводят к одному результату.
Задача: вычислите 840 : (7 · 12), выбрав порядок деления на множители. Сравним промежуточные вычисления: деление 840 на 12 сразу даёт удобное круглое число, а деление на 7 тоже возможно. Выберем первый путь, чтобы продолжить простым действием.
Ответ: 10. При другом порядке получилось бы 840 : 7 = 120, а затем 120 : 12 = 10. Выбор порядка не изменил ответ, но в первом варианте промежуточные числа тоже были удобны.
Задача: вычислите 756 : (9 · 14) и проверьте результат. Сначала подберём порядок, при котором первое частное будет целым числом и его легко будет разделить дальше. Число 756 делится на 9, поэтому начнём с этого множителя.
Ответ: 6. При проверке умножили частное на весь делитель и получили исходное делимое, значит, вычисление верно.
Иногда забывают скобки и считают a : b · c вместо a : (b · c). Ошибка возникает потому, что обе записи содержат те же числа и знаки, но порядок действий разный: без скобок сначала делят, а затем умножают. Проверьте, что в делителе записано именно всё произведение; при необходимости отдельно вычислите его.
Другая ошибка — разделить число только на один множитель и остановиться. Так бывает, когда второй множитель в скобках не замечают или принимают за часть записи, которую не нужно учитывать. Вспомните, что делитель состоит из всех множителей в скобках, и выполните столько делений, сколько множителей нужно учесть.
Некоторые считают, что перестановка множителей обязательно меняет ответ. Обычно к такому выводу приводит сравнение разных промежуточных чисел, хотя сравнивать нужно итоговые частные. Выполните оба допустимых способа до конца или умножьте частное на весь делитель: правильный результат проверки совпадёт с делимым.
Нельзя применять правило, если один из множителей равен нулю: тогда всё произведение-делитель тоже равно нулю. Эту ошибку допускают, перенося привычное правило без проверки условий. Перед вычислением посмотрите на множители и убедитесь, что ни один из них не равен нулю.
Чтобы уверенно делить число на произведение, нужно понимать смысл умножения и деления и знать, как эти действия связаны между собой. Пригодятся навыки нахождения произведения и деления на однозначные и многозначные числа. Это правило используют при вычислении выражений, где произведение стоит в делителе, и при упрощении числовых выражений. Оно помогает выбрать более короткий и удобный путь вычисления.
Как разделить число на произведение?
Нужно разделить число на каждый множитель делителя по очереди: a : (b · c) = (a : b) : c. Например, 120 : (3 · 4) = 120 : 3 : 4 = 10.
Можно ли сначала разделить на любой из множителей?
Да, если деление на выбранный множитель определено. Например, 120 : (3 · 4) можно вычислить как 120 : 3 : 4 или как 120 : 4 : 3.
Меняется ли ответ, если поменять порядок деления на множители?
Нет, если множители не равны нулю и оба деления выполнены правильно. Меняются промежуточные вычисления, но итоговое частное остаётся тем же.
Зачем в записи деления на произведение нужны скобки?
Скобки показывают, что делитель — всё произведение, а не только первый множитель. Без них запись a : b · c означает сначала деление на b, а затем умножение на c.
Как проверить результат деления на произведение?
Умножьте полученное частное на весь делитель. Если в результате получилось исходное делимое, вычисление верно.
Деление числа на произведение
