Цилиндр

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. При таком движении точки прямоугольника описывают круги, поэтому тело имеет круглую форму оснований и изогнутую боковую поверхность. Цилиндры встречаются в трубах, банках и различных ёмкостях.

Основания цилиндра — два равных параллельных круга, расположенных друг напротив друга. Радиус цилиндра r — это радиус любого из его оснований, а диаметр равен 2r. Эти круги ограничивают цилиндр сверху и снизу и определяют его толщину в поперечном направлении.

Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей его оснований. У прямого цилиндра образующая перпендикулярна основаниям, поэтому её длина одинакова для всех таких отрезков. В этом случае образующая равна высоте цилиндра h.

Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры его оснований. Высота — расстояние между плоскостями оснований, обычно обозначаемое h. Ось показывает направление цилиндра, а высота помогает определить расстояние между его кругами.

Как это устроено

Представим прямоугольник, у которого одна сторона закреплена, а сам прямоугольник вращается вокруг неё. Вторая сторона при вращении перемещается по кругу и заметает круг, а остальные точки образуют боковую поверхность. Закреплённая сторона не меняет положения, поэтому она становится осью вращения цилиндра.

Концы вращающейся стороны прямоугольника описывают окружности, ограничивающие два основания. Расстояние от этих окружностей до оси одинаково и равно радиусу, поэтому основания получаются равными кругами. Каждая точка боковой стороны прямоугольника движется по окружности, а отрезки, соответствующие этой стороне, образуют боковую поверхность.

В прямом цилиндре ось перпендикулярна плоскостям оснований. Образующая идёт параллельно оси и потому также перпендикулярна каждому основанию. Расстояние между основаниями измеряется именно по перпендикуляру, следовательно, длина образующей совпадает с высотой h.

Осевое сечение получают плоскостью, проходящей через ось цилиндра. В каждом основании такая плоскость вырезает диаметр, равный 2r, а боковые стороны сечения имеют длину h. Поэтому осевое сечение прямого цилиндра является прямоугольником со сторонами 2r и h.

Если разрезать боковую поверхность по образующей и развернуть её, получится прямоугольник. Одна его сторона равна высоте h, а другая — длине окружности основания 2πr, поэтому Sбок = 2πrh. Добавив два основания площадью πr² каждое, получаем Sполн = 2πr² + 2πrh; объём равен площади основания, умноженной на высоту: V = πr²h.

Элементы и основные формулы цилиндра

Сначала определите, какие величины известны: радиус, диаметр или высота. Если дан диаметр, его нужно разделить на 2 и получить радиус. Затем выберите формулу по требуемой величине и обязательно укажите квадратные единицы для площади и кубические для объёма.

Разбор задач

Задача 1

Радиус основания цилиндра равен 4 см, а высота — 7 см. Найдём площадь основания, площади боковой и полной поверхности. В условии уже дан радиус, поэтому заменять его диаметром не нужно.

1. Площадь основания: Sосн = πr² = π · 4² = 16π см².
2. Площадь боковой поверхности: Sбок = 2πrh = 2π · 4 · 7 = 56π см².
3. Площадь полной поверхности складывается из боковой поверхности и двух оснований: Sполн = 56π + 2 · 16π = 88π см².

Ответ: площадь основания — 16π см², площадь боковой поверхности — 56π см², площадь полной поверхности — 88π см².

Задача 2

Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 10 см. Нужно найти радиус, высоту и объём. В осевом сечении стороны равны 2r и h, а у квадрата обе стороны равны 10 см.

1. Из равенства 2r = 10 получаем r = 5 см.
2. Вторая сторона сечения является высотой, поэтому h = 10 см.
3. Подставляем значения в формулу объёма: V = πr²h = π · 5² · 10 = 250π см³.

Ответ: радиус основания — 5 см, высота — 10 см, объём — 250π см³.

Задача 3

Площадь полной поверхности цилиндра равна 96π см², радиус основания — 4 см. Требуется найти высоту. Используем формулу Sполн = 2πr² + 2πrh и подставляем известные значения.

1. Получаем уравнение: 96π = 2π · 4² + 2π · 4 · h.
2. Упрощаем: 96π = 32π + 8πh, значит 64π = 8πh.
3. Делим обе части на 8π: h = 8 см.
4. Проверка: 2π · 4² + 2π · 4 · 8 = 32π + 64π = 96π см².

Ответ: высота цилиндра равна 8 см.

Типичные ошибки

Иногда диаметр принимают за радиус и сразу подставляют его в формулу. Так происходит, потому что оба отрезка связаны с центром основания. Проверьте себя: радиус идёт от центра до окружности, а диаметр проходит через центр от одной точки окружности до другой и вдвое больше радиуса.

Образующую любого цилиндра считают равной высоте без уточнения. Такое равенство верно для прямого цилиндра, но для произвольного цилиндра образующая может быть наклонной. Сначала найдите в условии признак прямого цилиндра или перпендикулярность образующих основаниям.

В полной поверхности учитывают только один круг. Ошибка возникает из-за того, что при развёртке чаще сначала рассматривают боковую часть. Проверьте состав поверхности: у цилиндра два основания, поэтому нужно прибавить 2πr².

Площадь боковой поверхности путают с объёмом. В формуле площади Sбок = 2πrh нет r², а в объёме V = πr²h обязательно присутствует площадь круга основания. Дополнительно проверьте единицы: площадь измеряется в см², а объём — в см³.

Связь с другими темами

Для работы с цилиндром нужны свойства круга и окружности, длина окружности 2πr и площадь круга πr². Также пригодятся формулы площади прямоугольника и объёма призмы. Эти знания объясняют формулы цилиндра через его развёртку и площадь основания.

Цилиндр относится к телам вращения. Позже похожие идеи помогут изучать конус и шар, сравнивать их элементы и выводить формулы. Умение находить осевые сечения пригодится при рассмотрении других пространственных фигур.

На практике цилиндрические модели используют при расчёте вместимости ёмкостей и количества материала для труб. По радиусу и высоте можно узнать объём жидкости или площадь листа для упаковки. Поэтому формулы применяются в строительстве, производстве и бытовых расчётах.

Что запомнить

• Цилиндр имеет два равных параллельных основания — круга.
• Радиус цилиндра — радиус его основания.
• В прямом цилиндре образующая равна высоте.
• Осевое сечение прямого цилиндра — прямоугольник со сторонами 2r и h.
• Площадь боковой поверхности равна 2πrh.
• Площадь полной поверхности равна 2πr² + 2πrh.
• Объём цилиндра равен πr²h.