"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Цилиндр — объёмное тело с двумя равными круглыми основаниями и боковой поверхностью. Он встречается в повседневной жизни: форму цилиндра имеют банки, трубы и некоторые ёмкости. Чтобы описывать и вычислять свойства такого тела, нужно различать его основания, ось, высоту и образующую. Развёртка помогает понять, почему площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания на высоту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и боковой поверхностью. Представь его как объёмную фигуру между двумя круглыми площадками: боковая поверхность соединяет их края. Такое определение помогает отличить цилиндр от плоского круга и увидеть, из каких частей он состоит.
Основания цилиндра — два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях. Их центры обычно обозначают O₁ и O₂, а радиус каждого круга — r. Радиус нужен, чтобы находить длину окружности и площадь основания.
Ось цилиндра — отрезок O₁O₂, соединяющий центры оснований. Он проходит внутри тела, а его концы лежат в центрах кругов. Ось помогает описать положение цилиндра и связать два основания.
Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. У прямого цилиндра каждая образующая перпендикулярна плоскостям оснований и равна высоте h. Для наклонного цилиндра эти отрезки наклонены, поэтому их длина может отличаться от высоты.
Прямой цилиндр можно получить, вращая прямоугольник вокруг одной из его сторон. Эта сторона остаётся на месте и становится осью, а противоположная сторона движется по окружности и образует боковую поверхность. Две оставшиеся стороны описывают круги — основания цилиндра. Так видно, почему у такого тела круглые основания и ровная боковая поверхность.
Основания равны, потому что при переносе вдоль оси все точки одного круга перемещаются на одинаковое расстояние и образуют такой же круг. Они параллельны, поскольку лежат в плоскостях, которые не пересекаются. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей, параллельны оси: они идут в том же направлении, что и перенос от одного основания к другому.
Высота — это расстояние между плоскостями оснований, то есть длина перпендикуляра, проведённого от одной плоскости к другой. Образующая соединяет точки окружностей и может быть наклонена к основаниям. У прямого цилиндра она перпендикулярна плоскостям оснований, поэтому совпадает по длине с высотой. У наклонного цилиндра образующая длиннее высоты: наклонный отрезок соединяет те же плоскости не по кратчайшему пути.
Если разрезать боковую поверхность по одной образующей и развернуть её на плоскость, получится прямоугольник. Его высота равна h, а длина — длине окружности основания, то есть 2πr: при сворачивании эта сторона замыкается вокруг круга. Поэтому площадь боковой поверхности равна площади прямоугольника: Sбок = 2πr · h = 2πrh. Эта связь позволяет вычислять боковую поверхность, не разбивая её на отдельные части.
Полная поверхность включает боковую поверхность и два основания. Площадь одного основания равна πr², значит, площади обоих вместе — 2πr². Прибавляя их к площади боковой поверхности, получаем формулу Sполн = 2πrh + 2πr². Формула отражает состав тела: боковая часть и две равные круглые площадки.
| Элемент или величина | Что обозначает | Обозначение | Связь с другими элементами |
|---|---|---|---|
| Радиус основания | Расстояние от центра круга до окружности | r | Длина окружности 2πr, площадь круга πr² |
| Высота | Расстояние между плоскостями оснований | h | В прямом цилиндре равна образующей |
| Образующая прямого цилиндра | Отрезок боковой поверхности между окружностями | l | l = h |
| Длина окружности основания | Длина края одного основания | C | C = 2πr |
| Площадь боковой поверхности | Площадь боковой части тела | Sбок | Sбок = 2πrh |
| Площадь полной поверхности | Площадь боковой части и двух оснований | Sполн | Sполн = 2πrh + 2πr² |
Сначала найди в условии известные величины и обозначь их символами из таблицы. Затем выбери формулу для нужной площади или длины окружности. Равенство l = h используй только для прямого цилиндра.
Задача 1. У цилиндра радиус основания равен 3 см, высота — 5 см. Назовите основания, ось, высоту и образующую на схеме и укажите, какие отрезки равны. Схемы в условии нет, поэтому обозначим центры оснований O₁ и O₂, а точки окружностей — буквами A и B. Так можно назвать элементы без привязки к конкретным буквам на рисунке.
Ответ: основания — два круга с центрами O₁ и O₂; ось — O₁O₂; высота — 5 см; образующая прямого цилиндра — 5 см. Если цилиндр наклонный, по одной только высоте длину образующей определить нельзя.
Задача 2. Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота — 7 см. Найдите длину окружности основания и площадь боковой поверхности. Сначала вычислим длину окружности: она показывает, какой стороной прямоугольника развёртки оборачивается основание. Затем умножим эту длину на высоту прямоугольника.
Ответ: длина окружности основания — 8π см, площадь боковой поверхности — 56π см².
Задача 3. Площадь полной поверхности цилиндра равна 96π см², радиус основания — 4 см. Найдите высоту. В полной поверхности есть и боковая часть, и два основания, поэтому нельзя сразу приравнять 96π к площади боковой поверхности. Выразим высоту из формулы и проверим, что она положительна.
Ответ: высота цилиндра равна 8 см.
Не всякий отрезок на боковой поверхности является высотой. Высота — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований, а наклонный отрезок может быть образующей. Их путают, потому что оба соединяют основания; проверь, перпендикулярен ли отрезок плоскостям.
Не приравнивай образующую высоте у любого цилиндра. Это верно для прямого цилиндра, у которого образующие перпендикулярны основаниям; у наклонного они наклонены и длиннее высоты. Проверь в условии, сказано ли, что цилиндр прямой, прежде чем записывать l = h.
В формуле полной поверхности нельзя учитывать только одно основание. Цилиндр ограничен двумя равными кругами, поэтому к боковой площади прибавляют 2πr², а не πr². Для проверки мысленно посчитай круглые торцы у тела: их два.
Для площади боковой поверхности нельзя умножать высоту на радиус. В развёртке прямоугольник имеет стороны h и длину окружности основания 2πr, поэтому Sбок = 2πrh. Если в записи получилось rh без множителя 2π, проверь, не заменил ли ты длину окружности одним радиусом.
Чтобы работать с цилиндром, нужно знать, что такое круг и окружность, как находить радиус, площадь круга и длину окружности. Эти знания входят прямо в формулы: длина окружности равна 2πr, площадь круга — πr². Цилиндр пригодится при изучении объёмов и площадей поверхностей тел вращения. Он также помогает решать практические задачи о трубах, банках и ёмкостях.
Чем цилиндр отличается от круга?
Круг — плоская фигура, а цилиндр — объёмное тело. У цилиндра есть два круга-основания и боковая поверхность.
Что называют осью цилиндра?
Ось цилиндра — отрезок, соединяющий центры его оснований. Он лежит на прямой, проходящей через оба центра.
Всегда ли образующая цилиндра равна его высоте?
Нет. У прямого цилиндра образующие перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому равны высоте. У наклонного цилиндра образующая обычно длиннее высоты.
Как выглядит развёртка боковой поверхности цилиндра?
Это прямоугольник. Одна его сторона равна высоте цилиндра, а другая — длине окружности основания, то есть 2πr.
Почему в формуле полной поверхности учитываются два основания?
Полная поверхность включает боковую поверхность и оба основания. Поскольку основания равны, к площади боковой поверхности прибавляют удвоенную площадь круга: 2πr².
Цилиндр
