Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек. Фигурой может быть одна точка, линия или более сложная форма, например треугольник. Такое понятие позволяет описывать форму и расположение объектов, не отвлекаясь на их цвет и материал.

Точка — основная геометрическая фигура, у которой нет размера. На чертеже её показывают маленькой отметкой и обозначают заглавной латинской буквой, например A или O. Буква помогает точно указать место, о котором говорится в задаче.

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны. Её можно обозначить двумя точками, лежащими на ней, например AB, или строчной латинской буквой, например a. Такое обозначение позволяет понять, о какой линии идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя концами; его обозначают буквами концов, например AB. Луч — часть прямой с началом, которая продолжается в одном направлении; его обозначают началом и ещё одной точкой направления, например OA. Эти обозначения показывают, где фигура ограничена, а где продолжается.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Например, в угле AOB вершина — O, а стороны — лучи OA и OB; буква вершины стоит в середине записи.

Как это устроено

Точка нужна, чтобы зафиксировать конкретное положение на чертеже: буква рядом с отметкой позволяет ссылаться на него в рассуждении. Если заданы две различные точки, через них можно провести одну прямую и только одну. Две точки уже задают направление линии, поэтому провести через них другую прямую, не изменив её, нельзя. Это свойство помогает строить и описывать прямые однозначно.

Когда на прямой отмечают две точки, они выделяют её ограниченную часть — отрезок. Эти точки становятся концами, а все точки между ними входят в отрезок. Поэтому отрезок можно измерить и сравнить с другим отрезком, тогда как прямая не ограничена и продолжается за отмеченные точки. На рисунке длина нарисованного отрезка лишь изображает геометрический объект.

Чтобы получить луч, выбирают точку на прямой и принимают её за начало, а затем указывают направление. Все точки прямой по одну сторону от начала образуют луч. Если из одной точки провести два луча, у них окажется общее начало, и они образуют угол. Это объясняет, почему для угла важны и вершина, и направление его сторон.

Буквы делают запись короткой, но их порядок несёт смысл. В обозначении прямой или отрезка AB можно назвать точки A и B в любом порядке, однако луч AB начинается именно в A и проходит через B. Угол AOB читают так, чтобы средняя буква O указывала вершину, а крайние — стороны. Перед чтением записи найди вершину и проверь, совпадает ли она со средней буквой.

Геометрические фигуры помогают описывать предметы и чертежи: например, край линейки можно принять за отрезок, а угол комнаты — представить углом. Однако реальные края могут быть неровными, предметы имеют толщину, а нарисованная линия — ширину. Поэтому предмет служит наглядной моделью, а геометрическая фигура остаётся идеальным объектом. Такая модель позволяет рассуждать о форме и расположении без мелких особенностей предмета.

Основные геометрические фигуры

Чтобы пользоваться таблицей, сначала назови фигуру, а затем проверь её главную особенность: есть ли у неё концы или общее начало. После этого выбери подходящее обозначение. Особенно внимательно различай луч и отрезок: в записи луча порядок букв указывает направление.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Назовите прямую и отрезок, которые можно обозначить с помощью этих точек. Здесь нужно различить линию, которая продолжается, и её часть между отмеченными точками. Одинаковые буквы указывают точки, но сама фигура определяется тем, что именно названо.

1. Через A и B проходит прямая; она продолжается за обе точки в двух направлениях.
2. Её часть с концами A и B является отрезком.
3. Для прямой и отрезка используют обозначения AB, а различают их по смыслу и чертежу.

Ответ: прямая AB и отрезок AB. Если нужно избежать путаницы, в записи словами уточняют, какой именно объект имеется в виду. По одной паре букв нельзя заключить, что прямая ограничена точками.

Задача 2. На прямой отмечены точки A, B и C в таком порядке. Запишите отрезки, на которые точка B делит отрезок AC. Надо определить, какой отрезок задан сначала, а затем найти его части. Порядок точек показывает, что B лежит между концами A и C.

1. Исходный отрезок имеет концы A и C, значит, это отрезок AC.
2. Точка B находится внутри него и разделяет его на две части.
3. У первой части концы A и B, у второй — B и C.

Ответ: отрезки AB и BC. Вместе они составляют исходный отрезок AC и имеют общую точку B. При записи частей важно не подменять исходный отрезок отрезком, который соединяет только одну пару соседних точек.

Задача 3. Из точки O проведены лучи OA и OB. Запишите образованный угол и укажите его вершину и стороны. Общая точка лучей сразу подсказывает вершину. Затем нужно расположить её букву в середине обозначения угла.

1. Оба луча начинаются в точке O, поэтому O — вершина угла.
2. Точки A и B задают направления его сторон: это лучи OA и OB.
3. Записываем название угла так, чтобы O стояла между буквами A и B.

Ответ: ∠AOB (можно также записать ∠BOA); вершина — O, стороны — лучи OA и OB. Если на чертеже у вершины отмечено несколько углов, одного обозначения из трёх букв может быть недостаточно. Тогда нужно использовать дополнительные отметки или уточнение по чертежу.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что у прямой есть концы, потому что на чертеже нарисована короткая линия. Так происходит из-за границ листа или экрана: всю прямую показать невозможно. Проверяй себя вопросом, продолжается ли объект мысленно за края рисунка; у прямой — да, в обе стороны.

• Ошибка — путать прямую и отрезок, хотя у отрезка два конца, а у прямой их нет. На чертеже обе фигуры могут выглядеть как ограниченная линия, поэтому рисунок сам по себе не всегда подсказывает ответ. Проверь, названы ли конечные точки как границы отрезка или линия рассматривается как продолжающаяся.

• Ошибка — обозначать луч только одной буквой. Одной буквы достаточно, чтобы назвать его начало, но не направление, поэтому можно не понять, какую часть прямой имеют в виду. Указывай ещё одну точку на луче: например, OA начинается в O и проходит через A.

• Ошибка — ставить букву вершины угла не на второе место. Тогда запись можно прочитать неверно или принять за обозначение другого угла. Перед ответом найди общее начало сторон и проверь, что его буква стоит в середине названия, например ∠AOB.

Связь с другими темами

Для работы с геометрическими фигурами нужно уметь отмечать точки и читать буквенные обозначения на чертеже. Эти навыки понадобятся при изучении треугольников и многоугольников: их стороны и вершины описывают с помощью отрезков и точек. Понятия угла и его сторон нужны также при измерении углов. Чертежи помогают описывать форму предметов, находить длины и рассуждать о взаимном расположении фигур.

Что запомнить

• Точка обозначается заглавной латинской буквой.
• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет концов.
• Отрезок имеет два конца.
• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• Угол образуют два луча с общим началом; это начало — вершина угла.