"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Разрядные единицы 1 000, 10 000 и 100 000 помогают быстро увеличить или уменьшить число в тысячи, десятки тысяч или сотни тысяч раз. При умножении к записи натурального числа приписывают столько нулей, сколько их в множителе. При делении справа отделяют такое же количество цифр, а полученную часть проверяют как остаток. Понимание разрядов позволяет объяснить эти правила, не заучивая их механически, и помогает проверить вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тысяча — число 1 000, состоящее из одной тысячи единиц, десяти сотен и трёх нулей в записи. Например, 3 000 — это три тысячи, то есть три раза по 1 000. Такое представление помогает видеть, сколько единиц, десятков и сотен входит в число.
Разрядная единица — это число 10, 100, 1 000, 10 000 или 100 000, полученное последовательным умножением единицы на 10. У каждой такой единицы в записи есть один или несколько нулей. Число нулей показывает, на сколько разрядов сдвигается запись при умножении или делении.
Умножение на разрядную единицу — увеличение числа в 10, 100, 1 000 и более раз. Например, умножение на 1 000 означает, что число берут тысячу раз. Это действие применяют, когда нужно перейти от одной величины к такой же величине, увеличенной во много раз.
Деление на разрядную единицу — уменьшение числа в 10, 100, 1 000 и более раз. При делении на 1 000 ищут, сколько тысяч содержится в делимом. Понимание этого смысла помогает выбрать действие и заметить ошибку: частное должно быть меньше делимого.
Число 1 000 можно записать как 10 · 10 · 10. Поэтому умножение на 1 000 равносильно трём последовательным умножениям на 10. При каждом умножении на 10 все цифры переходят в разряды, стоящие на одну позицию левее, а справа появляется ноль; три шага дают три нуля в записи результата.
Например, 24 · 10 = 240, затем 240 · 10 = 2 400, а ещё одно умножение на 10 даёт 24 000. Значит, 24 · 1 000 = 24 000. По той же причине умножение на 10 000, то есть на четыре десятки, даёт четыре нуля, а на 100 000 — пять нулей. Это правило относится к натуральным числам, записанным без десятичной запятой.
Изменение разрядов объясняет и смысл результата. При умножении на 1 000 единицы становятся тысячами, десятки — десятками тысяч, а сотни — сотнями тысяч. Например, в числе 36 цифра 3 обозначает три десятка, а после умножения на 1 000 она обозначает три десятка тысяч: получается 36 000. Цифры сохраняют порядок, но занимают разряды в тысячу раз крупнее.
При делении на 1 000 ищут, сколько полных тысяч содержится в числе. Поэтому справа отделяют три цифры: они показывают единицы, оставшиеся после выделения тысяч. Для деления на 10 000 отделяют четыре цифры, а на 100 000 — пять. Например, в числе 47 326 после выделения полных тысяч остаются 47 тысяч и 326 единиц, то есть частное 47 и остаток 326.
Умножение и деление на одну разрядную единицу отменяют действия друг друга, потому что умножение увеличивает число ровно во столько раз, во сколько последующее деление его уменьшает. Например, если число умножить на 1 000, а затем разделить на 1 000, получится исходное число. Поэтому результат деления можно проверить умножением частного на делитель; если деление было с остатком, к произведению нужно прибавить остаток.
| Действие | Правило изменения записи числа | Пример |
|---|---|---|
| Умножение на 1 000 | Приписать справа три нуля. | 37 · 1 000 = 37 000 |
| Умножение на 10 000 | Приписать справа четыре нуля. | 37 · 10 000 = 370 000 |
| Умножение на 100 000 | Приписать справа пять нулей. | 37 · 100 000 = 3 700 000 |
| Деление на 1 000 | Отделить справа три цифры; если они не все нули, указать остаток. | 56 000 : 1 000 = 56 |
| Деление на 10 000 | Отделить справа четыре цифры; если они не все нули, указать остаток. | 560 000 : 10 000 = 56 |
| Деление на 100 000 | Отделить справа пять цифр; если они не все нули, указать остаток. | 5 600 000 : 100 000 = 56 |
Сначала найди, на какую разрядную единицу умножают или делят, и посчитай нули в ней. При умножении их приписывают к записи числа, а при делении отделяют соответствующее количество цифр справа. Если отделённая часть не равна нулю, деление натуральных чисел может быть с остатком.
В обоих примерах один из множителей равен 1 000. Умножение меняет число в тысячу раз, поэтому к записи второго множителя нужно приписать три нуля. Во втором примере множители стоят в другом порядке, но произведение от перестановки множителей не изменяется.
Ответ: 37 · 1 000 = 37 000; 1 000 · 204 = 204 000. Результаты больше исходных чисел, как и должно быть при умножении на 1 000. Перестановка множителей позволила применить знакомое правило к обоим выражениям.
В выражении есть деление и умножение, а затем сложение. Сначала выполним деление и умножение, после этого сложим полученные результаты. При делении проверим, что делимое оканчивается тремя нулями, а при умножении приписываем четыре нуля.
Ответ: 730 056. Деление уменьшило первое число в тысячу раз, а умножение увеличило второе в десять тысяч раз. Порядок действий важен: сначала выполняются умножение и деление, затем сложение.
На склад привезли 8 ящиков, в каждом по 1 000 деталей, а затем 2 000 деталей отправили в мастерскую. Нужно узнать, сколько деталей осталось. Сначала найдём общее количество привезённых деталей, потом вычтем отправленные.
Ответ: на складе осталось 6 000 деталей. Умножение понадобилось, потому что одинаковое количество деталей повторяется в каждом из восьми ящиков. После отправки число деталей должно стать меньше, поэтому выполняем вычитание.
При умножении на 1 000 иногда приписывают не три нуля, а число нулей, равное количеству цифр в исходном числе. Так происходит, если путают разряды множителя и разряды умножаемого числа. Проверь себя: у 1 000 ровно три нуля, поэтому 26 · 1 000 = 26 000, а не 2 600 и не 260 000.
При делении можно ошибочно просто убрать нули, не проверив, что число делится нацело. Убирать три нуля удобно, например, в записи 56 000 : 1 000, но у числа 56 347 нет трёх конечных нулей. В таком случае отдели справа три цифры и запиши частное с остатком: 56 347 : 1 000 = 56, остаток 347.
Иногда умножение и деление путают и получают число не того размера. Причина — действие выбирают по числу нулей, не проверяя смысл задачи. После вычисления оцени результат: умножение на 10 000 должно увеличить число, деление на 10 000 — уменьшить его.
Конечный ноль могут посчитать отдельной значащей цифрой и оставить при делении на разрядную единицу. Нули в конце числа показывают разряды, а не меняют правило: при делении 56 000 на 1 000 три конечных нуля сокращаются, и получается 56. Проверка умножением подтверждает ответ: 56 · 1 000 = 56 000.
Чтобы освоить эти действия, нужно уметь умножать и делить на 10 и понимать разрядный состав натурального числа. Правила опираются на свойства умножения, в частности на возможность переставлять множители, и на связь умножения с делением. Они пригодятся при работе с величинами и переводе единиц измерения, а также в задачах, где число увеличивают или уменьшают в 1 000 и более раз. Умение оценить, должно ли число стать больше или меньше, помогает контролировать вычисления.
Почему при умножении на 1 000 приписывают именно три нуля?
Потому что 1 000 = 10 · 10 · 10, а каждое умножение на 10 сдвигает разряды числа на один шаг влево. Три таких шага дают множитель 1 000, поэтому к натуральному числу приписывают три нуля.
Что делать, если при делении на 1 000 в записи числа недостаточно нулей?
Нули в записи делимого искать не нужно: отдели справа три цифры, даже если среди них нет нулей. Например, 2 345 : 1 000 = 2, остаток 345; если требуется точное значение, его можно записать как 2,345.
Как не перепутать умножение и деление на 10 000?
Сначала определи, каким должно быть число: умножение увеличивает его в 10 000 раз, а деление уменьшает. При умножении приписывают четыре нуля, при делении отделяют справа четыре цифры.
Можно ли сначала умножить число на 1 000, а потом разделить на 1 000?
Да, если выполняются оба действия с одним и тем же числом, результат не изменится. Умножение и деление на 1 000 — взаимно обратные действия.
Как проверить результат деления на разрядную единицу?
Умножь частное на делитель: при делении без остатка должно получиться исходное число. Если был остаток, прибавь его к произведению частного и делителя.
2.5. Умножение числа 1 000. Умножение и деление на 1 000, 10 000, 100 000
