"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Текстовая задача описывает жизненную ситуацию с известными и неизвестными величинами. Чтобы решить её, нужно понять условие, определить вопрос, установить связи между данными и построить математическую модель: краткую запись, схему, таблицу или уравнение. Затем составляют план, выполняют действия, поясняют результаты и проверяют ответ. Такой порядок помогает не угадывать действие, а рассуждать осмысленно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание жизненной ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестное. Она переводит обычный рассказ на язык математики. Понимание ситуации помогает выбрать не случайное, а подходящее действие.
Условие задачи — сведения об известных величинах и их связях. В условии могут быть числа, единицы измерения и слова, описывающие отношения между величинами. Его нужно внимательно прочитать, чтобы понять, какие данные можно использовать.
Вопрос задачи — указание на неизвестную величину, которую требуется найти. Он определяет, каким должен быть окончательный ответ. Если решить другой пример, но не ответить на вопрос, задача всё равно не будет решена.
Математическая модель — выражение, схема, таблица или уравнение, описывающие условие задачи. Модель показывает, как связаны известные и неизвестные величины. С её помощью легче составить план решения и проверить рассуждение.
Сначала отделите известные данные от неизвестного: удобно выписать числа вместе с названиями величин и единицами измерения. Затем сформулируйте вопрос своими словами, например: «Нужно узнать, сколько осталось» или «Нужно найти общее расстояние». Такой шаг нужен потому, что одно и то же число может участвовать в разных действиях, а смысл вопроса подсказывает направление решения.
Краткая запись, схема или таблица превращают длинный текст в понятную модель. В ней видно, какая величина больше или меньше, что изменилось, что осталось постоянным, а какие данные относятся к разным объектам или моментам времени. Благодаря этому легче заметить связь между величинами и не перепутать их при вычислениях.
Действие выбирают по связи, описанной в условии, а не по отдельному слову. Сложение объединяет величины, вычитание показывает разность или восстанавливает неизвестную часть, умножение помогает найти несколько одинаковых частей, а деление — разделить целое на равные части или узнать, сколько таких частей содержится. Если связь сложная или неизвестное встречается несколько раз, удобно составить уравнение.
Решение записывают последовательно: сначала действие, затем его пояснение и промежуточный результат. В составной задаче каждый следующий шаг должен опираться на уже найденные величины, поэтому порядок действий становится планом рассуждения. Такая запись показывает, зачем выполнено вычисление, и позволяет другому человеку проверить ход решения.
Проверка нужна даже тогда, когда вычисления сделаны аккуратно. Сравните результат с условием: может ли такое число получиться, подходит ли единица измерения, отвечает ли результат именно на вопрос. Полезно также выполнить обратное действие или подставить найденное значение в модель, чтобы убедиться, что все данные согласуются.
Пользуйтесь таблицей как маршрутом решения: переходите к следующему этапу только после того, как поняли предыдущий. В сложной задаче можно возвращаться к модели и уточнять план, если промежуточный результат не имеет смысла.
| Этап | Что определить | Вопрос для проверки | Результат этапа |
|---|---|---|---|
| Чтение условия | Известные и неизвестные данные | Что известно и что нужно найти? | Выделены данные и вопрос |
| Построение модели | Связи между величинами | Какая схема, таблица или уравнение описывает ситуацию? | Составлена математическая модель |
| Выбор способа решения | Подходящее действие или неизвестное в уравнении | Как найти искомую величину? | Составлен план решения |
| Выполнение решения | Порядок вычислений | Что означает каждый результат? | Получен числовой результат |
| Проверка | Соответствие ответа условию | Реален ли результат и отвечает ли он на вопрос? | Подтверждена правильность решения |
| Запись ответа | Форма окончательного результата | Как кратко ответить на вопрос задачи? | Сформулирован ответ |
В коробке было 24 карандаша. После того как несколько карандашей раздали, осталось 17. Нужно узнать, сколько карандашей раздали. Неизвестна часть, которую нашли вычитанием из первоначального количества оставшееся.
Ответ: раздали 7 карандашей.
В первый день турист прошёл 8 км, во второй — на 3 км больше, а в третий — на 2 км меньше, чем во второй. Требуется найти путь за три дня. Сначала нужно получить расстояния за второй и третий дни, а уже затем объединить их сложением.
Ответ: турист прошёл 28 км. Порядок важен: расстояние третьего дня нельзя найти, пока неизвестно расстояние второго.
После перекладывания 6 яблок из первой корзины во вторую в обеих корзинах стало поровну. Сначала в первой было 28 яблок, во второй — 12. После перекладывания получаем 28 − 6 = 22 и 12 + 6 = 18, но эти числа не равны, поэтому данные условия противоречат равенству корзин.
Ответ: при приведённых числах задача не имеет согласованного решения. Чтобы корзины стали равными, нужно было переложить 8 яблок: тогда в каждой оказалось бы по 20.
Ученики выписывают все числа подряд и сразу начинают считать, не выясняя их смысл. Так действие выбирается случайно: например, величины могут быть не сложены, а сравнены. Проверяйте себя вопросом: что обозначает каждое число и какую связь оно описывает?
Иногда находят промежуточную величину и принимают её за ответ. Такое происходит, когда забывают перечитать вопрос после вычислений. Подчеркните искомую величину в условии и сравните с ней последний результат.
В составной задаче можно нарушить порядок действий и попытаться использовать число, которое ещё не найдено. Причина ошибки — отсутствие краткого плана или схемы. Проверьте, опирается ли каждый шаг только на известные данные и результаты предыдущих шагов.
Некоторые не проверяют ответ, если вычисления кажутся простыми. Из-за этого остаются незамеченными невозможные числа, неправильные единицы или результат, не отвечающий на вопрос. Подставьте ответ в условие, оцените его размер и назовите единицу измерения.
До решения задач нужно знать смысл сложения, вычитания, умножения и деления, а также уметь работать с единицами измерения. Без этого трудно выбрать действие и записать результат правильно. Полезно заранее повторить перевод величин и порядок вычислений.
Краткая запись, схемы и таблицы связаны с умением читать и преобразовывать информацию. Они помогают увидеть структуру текста, сравнить величины и выделить промежуточные данные. Эти навыки нужны не только на математике.
Приёмы решения применяются в задачах на движение, стоимость, производительность, дроби, проценты и уравнения. Меняются сюжеты и формулы, но последовательность рассуждений остаётся похожей. Поэтому освоенная модель помогает переходить к более сложным задачам.
Как понять, какое действие выбрать первым?
Сначала выясните, какие величины связаны и что требуется найти. Первым выполняйте действие, которое позволяет найти нужную промежуточную величину, опираясь только на известные данные.
Обязательно ли составлять краткую запись или схему?
Не всегда, но при сложном условии краткая запись или схема помогает не потерять данные и увидеть связи между величинами. Для простой задачи можно рассуждать устно, однако запись облегчает проверку.
Как узнать, что задача решена уравнением правильно?
Подставьте найденное значение неизвестного в уравнение и проверьте, получается ли верное равенство. Затем убедитесь, что значение отвечает вопросу и подходит условию задачи.
Можно ли решить одну задачу несколькими способами?
Да, если разные способы используют одни и те же связи между величинами. Например, задачу можно решить по действиям или составить уравнение, а совпадение ответов подтвердит результат.
Как проверить ответ, если вычисления выполнены верно?
Проверьте смысл результата, единицы измерения и соответствие вопросу. Число должно быть возможным в описанной ситуации и не противоречить известным данным.
2.66—2.70. Решение задач
